文档介绍：复合函数定义域问题
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长沙市第七中学 孙贤忠
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第一讲 复合函数的定义域
一、复合函数的构成
设是到的函数，是到上的函数，且，当取遍中的元素时，取遍，那么就是到上的函数。此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数。
说明：
⑴复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。
⑵称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。
⑶与表示不同的复合函数。
例1．设函数，求．
⑷若的定义域为，则复合函数中，．
注意：的值域．
例2：
⑴若函数的定义域是[0，1]，求的定义域；
⑵若的定义域是[-1，1]，求函数的定义域；
⑶已知定义域是，求定义域．
要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的．
解答：
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⑴ 函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．
函数的定义域是[0，1]，
∴B=[0,1]，即函数的值域为[0，1]．
∴，
∴，即，
∴函数的定义域[0，]．
⑵ 函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．
的定义域是[-1，1]，
∴A=[-1,1]，即-1，
∴,即的值域是[-3，1]，
∴的定义域是[-3，1]．
要点2：若已知的定义域为，则的定义域就是不等式的的集合；若已知的定义域为，则的定义域就是函数 的值域。
⑶ 函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．
的定义域是[-4，5),
∴A=[-4,5)即，
∴即的值域B=[-1，8）
又是由到上的函数与B到C上的函数
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分析：因为定义域为{或}
令，；则，且
所以 ，定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数。
然而只就解析式而言，定义域是关于原点对称的，且，所以是奇函数。就本题而言就是外函数其定义域决定于内函数，的值域，而不是外函数其解析式本身决定的定义域了。
2．求有关复合函数的解析式，
例6．①已知 求；
②已知 ，求．
例7．①已知 ，求；
②已知，求．
要点3：
已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。
已知求的常用方法有：配凑法和换元法。
配凑法就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换成而得。
换元法就是先设，从中解出（即用表示），再把
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（关于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接换成即得，这种代换遵循了同一函数的原则。
例8．①已知是一次函数，满足，求；
②已知，求．
要点4：
⑴ 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。
⑵ 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法 求函数的解析式。已知满足某个等式，这个等式除是未知量外，还出现其他未知量，如、等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出。
二、练****br/>１．已知，求和．
解：令，设，
令，设，
．
２．已知，求．
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分析：是用替换中的而得到的，问题是用中的替换呢，还是用替换呢？所以要按、分类；
注：是用替换中的而得到的，问题是用替换中的呢，还是替换呢？所以要看还是，故按、分类。
Key:；
注：。
三、总结：
１．复合函数的构成；
设函数，，则我们称是由外函数和内函数复合而成的复合函数。其中被称为直接变量，被称为中间变量。复合函数中直接变量的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量的取值范围，即是的值域，是外函数的定义域。
２．有关复合函数的定义域求法及解析式求法：
⑴定义域求法：
求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由解）；求外函数的定义域只要求中间变量的值域范围（由
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