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矩阵分析3实用教案.pptx

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文档介绍

文档介绍:第三章 内积空间,正规矩阵与H-阵
定义: 设 是实数域 上的 维线性空间,对于 中的任意两个向量 按照某一确定法则对应(duìyìng)着一个实数,这个实数称为 与
的内积,记为 ,并且要求内积满足下列运算条件:
第1页/共134页
第一页,共135页。
这里 是 中任意向量, 为任意实数
,只有当 时 ,我们称带有这样内积的 维线性空间 为欧氏空间。
例 1 在 中,对于(duìyú)
规定
容易验证 是 上的一个内积,从而 成为一个欧氏空间。如果规定
第2页/共134页
第二页,共135页。
容易验证(yànzhèng) 也是 上的一个内积
,这样 又成为另外一个欧氏空间。
例 2 在 维线性空间 中,规定(guīdìng)
容易验证这是 上的一个内积,这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。
例 3 在线性空间 中,规定(guīdìng)
第3页/共134页
第三页,共135页。
容易验证 是 上的一个内积,这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。
定义: 设 是复数(fùshù)域 上的 维线性空间,对于 中的任意两个向量 按照某一确定法则对应着一个复数(fùshù),这个复数(fùshù)称为 与
的内积,记为 ,并且要求内积满足下列运算条件:
第4页/共134页
第四页,共135页。
这里 是 中任意向量(xiàngliàng), 为任意复数
,只有当 时 ,我们称带有这样内积的 维线性空间 为酉空间。欧氏空间与酉空间通称为内积空间。
例 1 设 是 维复向量(xiàngliàng)空间,任取
第5页/共134页
第五页,共135页。
规定
容易验证 是 上的一个内积,从而(cóng ér) 成为一个酉空间。
例 2 设 表示闭区间 上的所有连续复值函数组成的线性空间,定义
第6页/共134页
第六页,共135页。
容易验证 是 上的一个内积,于是 便成为一个酉空间。
例 3 在 维线性空间 中,规定
其中 表示 中所有元素取共轭复数后再转置,容易验证 是 上的一个内积,从而 连同(liántóng)这个内积一起成为酉空间。
内积空间的基本性质:
第7页/共134页
第七页,共135页。
欧氏空间(kōngjiān)的性质:
第8页/共134页
第八页,共135页。
酉空间的性质(xìngzhì):
第9页/共134页
第九页,共135页。
定义:设 是 维酉空间, 为其一组基底,对于 中的任意两个(liǎnɡ ɡè)向量
那么 与 的内积

第10页/共134页
第十页,共135页。