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降落伞的选择问题
摘要
本文根据降落伞在空间下落的高度与时间的关系求出下落过程中受到的空气阻力系数，从而得出不同降落伞的载重。依据价格与载重量的函数用lingo软件进展拟合，在载重量确定的条件下如何优化降落伞的选择从而达到支出最少的目的。
关键词：阻力系数；matlab；lingo;线性规划；数据拟合
一、问题的提出
为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。降落伞面为半径r的半球面，用每根长 L, 共16根绳索连接的载重m的物体位于球心正下方球面处，每个降落伞的价格由三局部组成。伞面费用C1由伞的半径r决定，绳索费用C2由绳索总长度与单价4元/米决定；固定费用C3为200元。
r〔m〕
2
3
4
费用〔元〕
65
170
350
660
1000
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降落伞在降落过程中受到重力作用外还受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞的受力面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用半径r=3m、载重m=300kg的降落伞从500m高度作降落试验，测得各时刻的高度
时刻t〔s〕
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
高度h〔m〕
500
470
425
372
317
264
215
160
108
55
1
试根据以上条件确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大〔表1中选择〕，在满足空投要求的条件下，使费用最低。
二、模型假设
针对降落伞下落的问题，需要对具体的空投做出讨论，但是考虑到空投瞬间直升机处于近似静止状态，故作出以下假设：
降落伞下降瞬间初速度为0；
物资可以根据需要进展任意分割；
降落伞只受到空气阻力和物资重力的作用，不考虑风速的影响；
降落伞与其绳索的质量近似为0；
降落伞在投放瞬时已经打开；
假设；
基于以上假设，我们可以根据物理公式降落伞下降时所收到的力的合力为降落伞的加速度〔速度对时间的导数〕，左右两边同时积分从而转换到位移和时间的关系采用表格中给出的位移和时间的一系列相关点并通过matlab拟合得到位移-时间函数中的未知参数，进而得到阻力系数。根据降阻力与降落伞的速度和伞面积的乘积成正比从而获得阻力系数k，获得不同型号的降落伞的半径与载重的关系。每种降落伞的价格由三局部C1，C2，C3组成，每种降落伞的总费用C=C1+C2+C3，根据总载重量不低于2000kg，采用Lingo进展拟合仿真，从而得到最优解。
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三、符号说明
符号名称
符号含义
k
空气的阻力系数
g
〕
v
降落伞的瞬时速度
r
降落伞的半径
s
降落伞的伞面积
m
降落伞的载重量
a
降落伞的加速度
h
降落伞离地面的高度
t
降落伞下落的时间
x1,x2,x3,x4,x5
每种降落伞的购置数量
s
降落伞的位移
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四、模型的建立与求解
重力mg
空气阻力f
根据牛顿第二定律有：
Mg－f=ma;
同时有 f=ksv;
带入式中，得到
Mg－ksv=m
考虑到题目中给出的是关于下降的高度与时间的函数关系，故想到将上述公式转换为有关高度和时间的关系式；
Mg－ksv=m·········· 对两段同时积分
····t=0时刻v=0;
从而解出c,得到v的表达式：
左右两边同时对t进展积分，如此左边变成位移s，右边变成有关t的函数，积分以后得到的结果如下：
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由于降落伞是从500m高空下落，故有
：对x(t进展拟合)
〔1〕直接带入位移时间点进展matlab拟合