文档介绍：.
第一讲函数、极限、连续
1、 基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。
2、 函数的性质，奇偶性、有界性
奇函数：f ( X) f(X)，图像关于原点对称。
偶函数：f ( x) f (x)，图像关于y轴对称
3、 无穷小量、无穷大量、阶的比较
设a， B是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则
⑴若lim訂，
则a是比B高阶的无穷小量。
(不为0)，贝U a与B是同阶无穷小量
特别地，若lim
a . 小
1，则a与B是等价无穷小量
(3)若 lim
，则a与B是低阶无穷小量
记忆方法：看谁趋向于
4、两个重要极限
0的速度快，谁就趋向于 0的本领高。
si nx
(i)lim
X 0 X
lim
X
—1 ° sin x
使用方法:
拼凑
0，一定保证拼凑 sin后面和分母保持一致
⑵ lim 1
X
1
龙叫(1 x)X e
使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数,
a。n n
m
Pn X
b。
5、lim
0, n
m
x Qm X
,n
m
不满足条件得拼凑。
Pn X的最高次幕是n,Qm X的最高次幕是 m.,只比较最高次幕，谁的次幕高，谁的头大，趋向于
无穷大的速度快。n m,以相同的比例趋向于无穷大； n m，分母以更快的速度趋向于无穷大;
n m，分子以更快的速度趋向于无穷大。
7、左右极限
左极限：
lim f (x) A
x X0
右极限：
lim f (x) A
X X0
注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。
8、连续、间断
连续的定义：lim y lim f(x° x) f(x°) 0
x 0 X 0
或 lim f (x) f (x0)
X x0
9、
间断：使得连续定义lim
x xo
记忆方法：1、右边不存在 间断点类型
f (x) f (x0)无法成立的三种情况
2、左边不存在
3、左右都存在，但不相等
(i)、第二类间断点：lim f (x)、lim
x xo
f (x)至少有一个不存在
⑵、第一类间断点：lim f (x)、lim
f (x)都存在
x xo
x xo
注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判 断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”
10、闭区间上连续函数的性质
(1) 最值定理：如果 f(x) 在a,b上连续，则 f(x) 在a,b上必有最大值最小值。
(2)
零点定理：如果
f (x)在a,b上连续，且f (a)
f(b) 0
至少存在一点 ，
使得f( ) 0
』k.
第三讲中值定理及导数的应用
1、罗尔定理
如果函数
y f (x)满足
(1)在闭区间 a, b上连续；(
2)在开区间
f (a)
f (b)，则在(a,b)内至少存在一点 ，使得f ()
0
记忆方法
脑海里记着一幅图
/
2、拉格朗日定理
(a,b)内可导；(3)
，则f (x)在a, b 内
如果y f(x) 满足(1)在闭区间
a,b上连续
b
(2)在开区间(a,b )内可导;
则在(a,b)内至少存在一点
，使得 f() f(b) f(a)
b a
脑海里记着一幅图:
(*)推论1 :如果函数
(X)在闭区间 a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(X) 0，
那么在 (a,b)内 fJXy =C恒为常数。
记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为 0。
(*)推论2:如果 f(x),g(x) 在a,b上连续，在开区间
(a,b) 内可导，且
f (x)
g (x),x (a,b)，那么 f (x) g(x) c
记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等
3、驻点
满足
f (x) 0的点，称为函数f (x)的驻点。
几何意义：切线斜率为 0的点，过此点切线为水平线
4、极值的概念
设f (x)在点x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点
f(X。) 为函数 f(x) 的极大值，x0称为极大值点。
x,有 f (x) f (x0)，则称
设f (x)在点x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点
x,有 f (x) f (x0)，则称
f(X。) 为函数 f(x) 的极小值，Xo称为极小值点。
记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底