矩阵论矩阵的分解精选课件.ppt

文档介绍：关于矩阵论矩阵的分解
第一页，本课件共有15页
矩阵分解的概述
矩阵的分解：
A=A1+A2+…+Ak 矩阵的和
A=A1A2 …Am 矩阵的乘积
矩阵分解的原则与意义：
实际应用的需要
理论上的需要
计算上的需要
显示原矩阵的某些特性
矩阵化简的方法与矩阵技术
主要技巧：
各种标准形的理论和计算方法
矩阵的分块
第二页，本课件共有15页
§ 常见的矩阵标准形与分解
常见的标准形
等价标准形
相似标准形
合同标准形
本节分解：
三角分解
满秩分解
可对角化矩阵的谱分解
AT=A
相似标准形
等价标准形
第三页，本课件共有15页
一、矩阵的三角分解（triangular decomposition)
方阵的LU和LDV分解（）
LU分解：AFnn， 有下三角形矩阵L ，上三角形矩阵U ，使得A=LU。
LDV分解：AFnn， L、V分别是主对角线元素为1的下三角形和上三角形矩阵，D为对角矩阵，使得A=LDV。
已知的方法：Gauss-消元法
例题1 （）设

求A的LU和LDV分解。
结论：如果矩阵A能用两行互换以外的 初等行变换化为阶梯形，则A有LU分解。
第四页，本课件共有15页
三角分解的存在性和惟一性
（） ：
矩阵的k 阶主子式：取矩阵的前k行、前k列得到的行列式，k=1，2， … ，n。
定理: AFnn有惟一LDV分解的充要条件是A的顺序主子式Ak非零，k =1，2，…，n-1。
讨论 （1） LDV分解的存在LU分解存在
（2）矩阵可逆与顺序主子式非零的关系
（）设矩阵AFnn ，rank（A）=k（ n），如果A的k阶顺序主子式大于0，则 A有LU分解。
讨论： LDV分解与LU分解的关系
例题2 （ eg2）
LU分解的应用举例：求解线性方程组AX=b
第五页，本课件共有15页
二、矩阵的满秩分解
（ ）
对秩为r 的矩阵AFmn ，如果存在秩为r的矩阵 B Fmr，CFrn ，则A=BC为A 的满秩分解。
例题2 （ ，eg5）
列满秩
行满秩
：任何非零矩阵AFmn都有满秩分解。
满秩分解的求法：
方法1：
方法2
例题1（ ， eg4 ）
方法3
例题3（ ，eg6）
• 方法建立 的思想
• 方法实现的途径
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三、可对角化矩阵的谱分解
将方阵分解成用谱加权的矩阵和
谱：设AFnn ，
则A的谱={1，2，，s}。
，P具性质：
1. 可对角矩阵的谱分解
分解分析：
分解结果：
幂等矩阵
意义：可对角化矩阵可以分解成以谱加权的幂等矩阵的加权和
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2、 矩阵可以对角化的一个充要条件
（ ）
矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵A有谱分解
，满足条件：
充分性的证明：
在A有谱分解时 Cn=V 1V 2    V n
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3. 幂等矩阵的性质
定理3 .4（）PFnn ，P2=P，则
矩阵PH和矩阵（I–P）仍然是幂等矩阵。
P 的谱{0，1}，P 可相似于对角形。
Fn = N（P） R（P）
N（P）=V =0 ，R（P）=V=1
P和（I – P）的关系
N（I – P）=R（P），R（ I – P ）=N（P）
Hermite 矩阵的谱分解
定理3 .6（）设A是秩为k的半正定的Hermite 矩阵，则A可以分解为下列半正定矩阵的和。
A=v1v1H+v2v2H+…vkvkH
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§ Schur 分解和正规矩阵
已知：欧氏空间中的对称矩阵A可以正交
相似于对角形。
讨论：一般方阵A ，在什么条件下可以
酉相似于对角矩阵？
在内积空间中讨论问题，涉及：
空间 Cn、 Cnn，
酉矩阵U，UHU=I， U – 1=UH
酉相似： UHAU=J  U–1 AU=J
相似关系
重点：理论结果
列向量是空间Cn中的标准正交基
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