文档介绍：极限求解的方法韩山师范学院数学教育摘要: 数学分析是以极限理论和极限方法为基础,以微积分为主要内容的学科。理解并掌握求极限的方法对学****数学分析有很大的帮助, 然而极限的题型技巧性很强。所以要学好极限, 应从两个方面着手。1、考察所给的数列或函数是否有极限( 极限的存在性问题);2、若极限存在,考虑如何计算此极限(极限的计算问题) 。本文总结了几种求极限的一般方法,并结合具体例子对方法加以说明。榜关键词: 极限、洛必达法则、泰勒公式、柯西准则、定积分前言: 在数学分析中极限的求法有很多种, 方法虽然多但却不集中。本文根据所学知识探讨了数学分析中求极限的几种方法和思想, 结合具体例子分析了一般极限的求解过程并给出极限求解的方法和技巧。这些方法不能适用于所有极限的求解,但具有一定的代表性。 1、利用极限定义验证极限定义?? 1:设?? na 为数列,a 为定数。若对任给的正数?, 总存在正整数 N ,使得当 n N ?时有, n a a ?? ?则称数列?? na 收敛于 a , 定数 a 称为数列?? na 的极限, 并记作 lim nn a a ???。例1:2 312 3 lim 2 2?????n nn n证: 利用极限定义证明 lim nn a a ???, 关键是要对任意 0??, 求出 N N ??, 使得 n N ?时有 n a a ?? ?即可。任给 0??,要找 N ,使 n N ?时,有?< 2 312 3 2 2???n nn , 即?< )12(2 32 2??n n , 显然,当 n 较大时,如 2n?,有 1 122 212 2)12(2 22)12(2 322 312 3 22222 2???????????????nnn nn nn nnn nn nn 因此要使?????2 312 3 2 2n nn 成立, 当2n?时,只要???1 1n 即1 1??? n 所以,任给 0??,取????????1 1,2 max ? N ,则当 n N ?时,有?????2 312 33 2 2n nn 因此 2 312 33 lim 2 2?????n nn n 成立。利用极限定义验证极限是极限问题的难点, 关键在于对任意给定的正数?的任意性。然而,尽管?有其任意性,但一经给出,就暂时地被确定下来, 以便依靠它来求出 N。还有 N 的相应性。一般说,N 随?的变小而变大,由此常把?写作( ) N?,来强调 N 是依赖于?的;但重要的是 N 的存在性,而不在于它的值的大小。 2、利用迫敛性来求极限定理?? 1: 设收敛数列?? na ,?? nb 都以 a 为极限, 数列?? nc 满足: 存在正数 0N 当 0Nn?时有 nnnbca??, 则数列?? nc 收敛,且 ab nn??? lim 。例2 :设)2(642 )12531n nx n????????????( ,试求极限 nnx ?? lim 。解:利用迫敛性定理求比较复杂数列的极限,应构造适当的不等式, 这不仅是判定数列收敛的一种方法, 而且也是求极限的一个重要的工具。12 27 65 43 22 126 54 32 1????????????n nn nx n?? 1 1 1 1 3 5 7 2 1 2 4 6 2 nn ? ?????? 1 1 1 1 1 1 3 5 2 1 (2 1) (2 1) 2 4 6 2 nn x n nn ? ???? ???? ??, 故12 10???n x n,012 1 lim ????n n 由迫敛性得 0 lim ??? nnx 利用迫敛性求极限关键在于从表达式中通过放大或缩小的方法找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数, 并且所找出的两个函数必须要收敛于极限值。 3、利用极限的四则运算法则求极限定理?? 1 :如果存在. lim , lim bbaa nn nn??????则; lim lim )( limbababa nn nn nnn???????????; lim lim )( limbababa nn nn nnn???????????若0? nb 及0?b ,则. lim / lim lim b abab a nn nnn nn????????例3?? 2 :求 22 lim(3 4 1) n n n ?? ?解:将 na 化作我们常见的可求极限的形式, 再通过极限的四则运算法则进行计算。 2 2 2 2 2 2 lim(3 4 1) li