文档介绍：玩转函数第八招焦建新编第 22招:函数对称性的探究函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中, 而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决, 对称关系还充分体现了数学之美。本文通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。一. 函数自身的对称性探究定理 1. 函数 y=f (x) 的图像关于点 A (a ,b) 对称的充要条件是 f (x) +f (2a - x)= 2b 证明:( 必要性) 设点 P (x ,y) 是y=f (x) 图像上任一点,∵点P(x ,y) 关于点 A (a ,b) 的对称点 P ‘( 2a-x, 2b-y )也在 y=f (x) 图像上, ∴ 2b-y=f (2a - x) 即y+f (2a - x)=2b 故f (x) +f (2a - x)= 2b ,必要性得证。(充分性)设点 P (x 0 ,y 0)是y=f (x) 图像上任一点,则 y 0=f (x 0) ∵f (x) +f (2a - x)= 2b∴f (x 0)+f (2a -x 0)= 2b ,即 2b-y 0=f (2a -x 0)。故点 P ‘( 2a-x 0, 2b-y 0 )也在 y=f (x) 图像上,而点 P 与点 P ‘关于点 A (a ,b) 对称, 充分性得征。推论: 函数 y=f (x) 的图像关于原点 O 对称的充要条件是 f (x) +f(- x)=0 定理 2. 函数 y=f (x) 的图像关于直线 x=a 对称的充要条件是 f (a +x) =f (a- x)即f (x) =f (2a - x) (证明留给大家) 推论:函数 y=f (x) 的图像关于 y 轴对称的充要条件是 f (x) =f(- x) 满足条件???? f x a f b x ? ??的函数的图象关于直线 2 a b x ??对称。如已知二次函数)0()( 2???abx ax xf 满足条件)3()5(???xfxf 且方程 xxf?)( 有等根,则)(xf = _____ ( 答: 212 x x ? ?); 定理 3.①若函数 y=f (x) 图像同时关于点 A (a ,c) 和点 B (b ,c) 成中心对称( a≠ b) ,则 y=f (x) 是周期函数,且 2|a- b| 是其一个周期。②若函数 y=f (x) 图像同时关于直线 x=a 和直线 x=b 成轴对称(a≠b), 则y=f (x) 是周期函数,且 2|a- b| 是其一个周期。③若函数 y=f (x) 图像既关于点 A (a ,c) 成中心对称又关于直线 x =b 成轴对称( a≠b) ,则 y=f (x) 是周期函数,且 4|a- b| 是其一个周期。①②的证明留给读者,以下给出③的证明: ∵函数 y=f (x) 图像既关于点 A (a ,c) 成中心对称, ∴f (x) +f (2a - x)= 2c ,用 2b-x代x 得: f (2b - x)+f[ 2a- (2b - x)]= 2c ………………(*) 又∵函数 y=f (x) 图像直线 x =b 成轴对称, ∴f (2b - x)=f (x) 代入( * )得: f (x) = 2c-f[ 2(a - b)+x] …………( **) ,用 2(a-