文档介绍：一元一次方程应用题分类讲评
湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬
一元一次方程应用题是初一数学学****的重点， 也是一个难点。主要困难体现在两个方面：
一是难以从实际问题中找出相等关系， 列出相应的方程；二是对数量关系稍复杂的方程， 常
常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等关系， 导致
解题时无从下手。
事实上，方程就是一个含未知数的等式。 列方程解应用题，就是要将实际问题中的一些
数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来。 而在这种等式中的每个式子又都有自身
的实际意义，它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。 由此，解方程应用
题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。
F面就一元一次方程中常见的几类应用题作逐一讲评，供同学们学****时参考。
行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。关系式为：①路程 =速度x时间；②速
路程 路程
度=邙;③时间=丄二。
可寻找的相等关系有：路程关系、时间关系、速度关系。在不同的问题中，相等关系是
灵活多变的。如相遇问题中多以路程作相等关系， 而对有先后顺序的问题却通常以时间作相
等关系，在航行问题中很多时候还用速度作相等关系。
航行问题是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化：①顺水
（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；②逆水（风）速度 =静水（无风）速度 -水流速度（风速）。由此可得到航行问题中一个重要等量关系： 顺水（风）速度-水流速
度（风速）=逆水（风）速度 +水流速度（风速） =静水（无风）速度。
例1 •某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即 返回排尾，速度为 3米/秒。问往返共需多少时间？
讲评：这一问题实际上分为两个过程： ①从排尾到排头的过程是一个追及过程， 相当于 最后一个人追上最前面的人；②从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程， 相当于从排头走 到与排尾的人相遇。
在追及过程中，设追及的时间为x秒，队伍行进（即排头）速度为90米/分=, 则排头行驶的路程为 ；追及者的速度为 3米/秒，则追及者行驶的路程为 3x米。由 追及问题中的相等关系“追赶者的路程一被追者的路程 =原来相隔的路程”，有：
3x
—=450
/• x=300
X工作时间。②工作时间 =」上 ，③工作效率 二二-日。
在相遇过程中，设相遇的时间为 y秒，队伍和返回的人速度未变，故排尾人行驶的路程为
，返回者行驶的路程为 3y米，由相遇问题中的相等关系“甲行驶的路程 +乙行驶的
路程=总路程”有： 3y+=450 /• y=100
故往返共需的时间为 x+y=300+100=400 （秒）
例2汽车从A地到B地，若每小时行驶 40km,就要晚到半小时：若每小时行驶 45km,
就可以早到半小时。求 A、B两地的距离。
讲评：先出发后到、后出发先到、快者要早到慢者要晚到等问题， 我们通常都称其为“先
后问题”。在这类问题中主要考虑时间量，考察两者的时间关系， 从相隔的时间上找出相等
关系。本题中，设 A B两地的路程为x km ,速度为40 km/小时，则时间为
I
为45 km/小时，则时间为二j小时，又早到与晚到之间相隔 1小时，故有
X
■U小时；速度
x = 360
例3 一艘轮船在甲、乙两地之间行驶，顺流航行需 水流速度每小时 2 km。求甲、乙两地之间的距离。
6小时，逆流航行需 8小时，已知
讲评：设甲、乙两地之间的距离为
小时，由航行问题中的重要等量关系有:
x km，则顺流速度为〔km/小时，逆流速度为L km/
r -2 = 1 +2
工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。关系式为：①工作量 =工作效率
工作量 工作量
X工作时间。②工作时间 =」上 ，③工作效率 二二-日。
工程问题中，一般常将全部工作量看作整体 1如果完成全部工作的时间为 t，则工作
1
效率为一。常见的相等关系有两种： ①如果以工作量作相等关系，部分工作量之和 =总工作
量。②如果以时间作相等关系，完成同一工作的时间差 =多用的时间。
在工程问题中，还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体 1，
此时工作效率也即工作速度。
，甲单