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矩阵可对角化的总结
学院数学系02级1班 连涵生 21041111
［摘要］：主要讨论n级方阵可对角化问题：〔1〕通过特征值 ，特征向量和假设尔当标准形讨论方阵可对角化的条件；〔2〕实n级对称矩阵的可对角化讨论；〔3〕几个常见n 级方阵的可对角化讨论。
［关键词］：n级方阵；可对角化；相似；特征值；特征向量；假设尔当标准形；n级实对称矩阵
说明：如果没有具体指出是在哪一个数域上的n级方阵，都认为是复数域上的。当然如果它的特征多项式在某一数域上不能表成一次多项式的乘积的话，那么在此数域上它一定不能相似对角阵。只要适当扩大原本数域使得满足以上条件就可以。复数域上一定满足，因此这样假设，就不用再去讨论数域。
引言
所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵〔或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的〕，同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角化。
定义1：设A，B是两个n级方阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，那么称B与A相似，记作A～B。矩阵P称为由A到B的相似变换矩阵。
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定义2：设A是一个n级方阵，如果有数和非零向量X，使AX=X那么称是矩阵A的特征值，X称为A的对应于的特征向量，称为矩阵对应于特征值的特征子空间。
定义3：设A是数域上一个n级方阵，假设多项式，使那么称为矩阵A的零化多项式。
定义4：数域上次数最低的首项为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式。
首先从特征值，特征向量入手讨论n级方阵可对角化的相关条件。
定理1：一个n级方阵A可对角化的充要条件它有n个线性无关的特征向量。
证明：必要性：由，存在可逆矩阵P，使
即
把矩阵P按列分块，记每一列矩阵为 即
于是有
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=，
即
于是有 。
由特征值，特征向量定义，说明P的每一列都是A的特征向量，因为P是可逆的，因此是A的n个线性无关特征向量，其中为A的特征值。
充分性：假设A有n个线性无关的特征向量那么有，其中是对应于特征向量的A的特征值。
以为列作矩阵，因为线性无关，所以矩阵P是可逆的。
由
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=
==
那么有 即A与对角矩阵相似
从以上证明中可知：
与矩阵A相似的对角矩阵主对角线上的元素是A的特征值，而相似变换矩阵P的列是A的n个线性无关特征向量。
在主对角线上的次序应与其对应的特征向量在P中的次序相对应，如果的次序改变，那么
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在P中的次序也要作相应的改变。但这时P 就不是原来的P了。因此相似变换矩阵不是唯一的。假设不计的排列顺序，那么对角矩阵是唯一的，称它为A的相似标准形。
由相似是一种等价关系知：与A相似的矩阵都有一样的相似标准形。
定理2：矩阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
由此给出