高中数学导数及其应用知识点.doc

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导数知识点归纳及其应用
●知识点归纳
一、相关概念
1．导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f〔x+〕－f〔x〕，比值叫做函数y=f〔x〕在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f〔x〕在点x处的导数，记作f’〔x〕或y’|。
即f’〔x〕==。
说明：
〔1〕函数f〔x〕在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。
〔2〕是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f〔x〕在点x处的导数的步骤：
①求函数的增量=f〔x+〕－f〔x〕；
②求平均变化率=；
③取极限，得导数f’(x)=。
例：设f(x)= x|x|, 那么f′( 0)= .
[解析]：∵∴f′( 0)=0
2．导数的几何意义
函数y=f〔x〕在点x处的导数的几何意义是曲线y=f〔x〕在点p〔x，f〔x〕〕处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f〔x〕在点p〔x，f〔x〕〕处的切线的斜率是f’〔x〕。
相应地，切线方程为y－y=f/〔x〕〔x－x〕。
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例：在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
[解析]：切线的斜率为
又切线的倾斜角小于，即
故
解得：
故没有坐标为整数的点

如果物体运动的规律是s=s〔t〕，那么该物体在时刻t的瞬间速度v=〔t〕。
如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v〔t〕，那么该物体在时刻t的加速度a=v′〔t〕。
例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，假设把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是〔 〕
s
t
O
A．
s
t
O
s
t
O
s
t
O
B．
C．
D．
答：A。
练****质点M按规律做直线运动〔位移单位：cm，时间单位：s〕。
当t=2，时，求；
当t=2，时，求；
求质点M在t=2时的瞬时速度。
答案：〔1〕〔2〕；〔3〕8
二、导数的运算
1．根本函数的导数公式:
①〔C为常数〕
②
③;
. .