文档介绍：1 最优控制方法及其应用摘要最优控制是现代控制理论的核心, 它研究的主要问题是: 在满足一定约束条件下, 寻求最优控制策略, 使得性能指标取极大值或极小值, 使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。可概括为: 对一个受控的动力学系统或运动过程, 从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案, 使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时,其性能指标值为最优。从数学上看, 确定最优控制问题可以表述为: 在运动方程和允许控制范围的约束下, 对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数( 称为泛函) 求取极值( 极大值或极小值)。解决最优控制问题的主要方法有古典变分法( 对泛函求极值的一种数学方法)、极大值原理和动态规划。最优控制已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。研究最优控制问题有力的数学工具是变分理论, 而经典变分理论只能够解决控制无约束的问题, 但是工程实践中的问题大多是控制有约束的问题,因此出现了现代变分理论。现代变分理论中最常用的有两种方法。一种是动态规划法, 另一种是极小值原理。它们都能够很好的解决控制有闭集约束的变分问题。值得指出的是,动态规划法和极小值原理实质上都属于解析法。此外, 变分法、线性二次型控制法也属于解决最优控制问题的解析法。最优控制问题的研究方法除了解析法外,还包括数值计算法和梯度型法。 2 目录摘要…………………………………………………………………………… 1 第一章古典变分法…………………………………………………… 3 古典变分法的定义……………………………………… 3 古典变分法的应用……………………………………… 3 第二章最大值原理…………………………………………………… 6 最大值原理概述…………………………………………… 6 最大值原理应用举例…………………………………… 7 第三章动态规划…………………………………………………… 8 动态规划的概述………………………………………… 8 动态规划的应用………………………………………… 10 第四章线性二次型………………………………………………… 13 结束语………………………………………………………………………… 15 参考文献……………………………………………………………………… 16 3 第一章古典变分法 古典变分法的定义古典变分法是研究对泛函求极值的一种数学方法。直接来说,求泛函的极大值或者极小值问题成为变分问题, 而求泛函极值的方法就成为变分法。 古典变分法的应用古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中,控制函数的取值常常受到封闭性的边界限制,如方向舵只能在两个极限值范围内转动, 电动机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此, 古典变分法对于解决许多重要的实际最优控制问题,是无能为力的。变分法上研究泛函极值的一种方法,为古典变分法。拉格朗日问题: 求一容许函数)(tx ,使泛函 dttxtxtFJ ftt?? 0 ))( ),(,( ?取最小值。下面利用泛函)]([txJ 达到极值的必要条件: 0?J?,导出欧拉方程。引理: 设连续函数)(tMx?对于任一具有下述性质的函数)(t?(1) 在],[ 0ftt 上, )(t?连续(2)0)()(?? fott?? 4 总有0)()( 0??? dtttMJ ftt?则对于 0)( ],,[ 0??tMttt f。定理:若最简单的泛函 dttxtxtFtxJ ftt?? 0 ))( ),(,( )]([ ?; ffxtxxtx??)(,)( 00 在曲线)(txx?处达到极值,则)(txx?必为欧拉方程 0?? xxFdt dF ?的解。证明因为泛函)]([txJ 在)(txx?处达到极值,所以有 0)( 0???? dtxFxFJ ftt xx?????其中 0)()( 0?? ftxtx??而dtFdt dxdtFdt dxxFdtxF x tt x tt tt x tt x)()(| ????????????????代入得 0)( 0???? dtxFdt dFJ ftt xx???由引理可得 0?? xxFdt dF ?还可写成 0???? xxxxxtxFxFxFF ???????欧拉方程是二阶常微分方程。两个积分常数由两个边界条件确定。变分法应用: 例 求泛函 dtxxtxJ??? 20 22)( )]([ ?? 5 满足边界条件 1)2 (,0)0(???xx 的极值曲线。解 22xxF???, 欧拉方程为 022?????xxFdt dF xx???求得 tCtCx sin cos 21??, 由边