文档介绍：二次根式的化简与计算的策略与方法
二次根式是初中数学教学的难点内容， 读者在掌握二次根式有关的概念与性质后， 进行二次
根式的化简与运算时，一般遵循以下做法：
先将式中的二次根式适当化简
二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式
对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算.
二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项.
运算结果一般要化成最简二次根式.
化简二次根式的常用技巧与方法
二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容， 对于二次根式的化简，除了掌握基本概念
和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧， 会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例 进行分类解析.
.公式法
【例1】
【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便.
•观察特征法
［例 2】计算： 宀；.-
【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观 察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以
_73(2 + V2-76)_^
【解】原式
【例3】把下列各式的分母有理化.
(1)
，即得分子，于是可以简解如下:
【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个 因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子， 这就启示我们可以用如下解
法：
=(妇 _ 亦)二_ 卑)= 1 + 1
【解】①原式 ■■■'"_ : _ 「- -" - ■:
At的系
【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简•但是，不难发现②式分子中 数若为“ 1”，那么原式的值就等于“ 1” 了 ！因此，②可以解答如下：
=1十 R
【解】②原式 ■---
t/x -1 1 - \fx-\ )
(7x + i + 7x - +1 -
•运用配方法
［例 4】化简
I -」「”
【解】原式宀
【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“
•平方法
[例 5】化简 7
【解】•••
=6-濟+ 2棉-岡»禺心隐
=12 + 2#-35 =
... "二一丄•二 \
【解后评注】对于这类共轭根式 -；■■'■'与-；■■'-的有关问题，一般用平方法都可以进行
化简
5•恒等变形公式法
【例6】化简上—二d
【方法导引】若直接展开，计算较繁，如利用公式 応：“ ?',则使
运算简化.
【解】原式=[^ +（72-76）f + [73-（72-76）f
=2[（凋2 + 価-屈=2x（3 + 8-4a/3）
=22-虻
•常值换元法
[例 7】化简-I' ■' / . L1. 丄一】-】
【解】令卜二一一：，则：
原式
=J（, + 3住沪匚光匸2）+ ]
=+ +1（/ + 3 j +1
=花? +% + [f
= ?+3d+l=1998J+3x1998+1
■ 3997999
•裂项法
1 1 A 1 + + + A +
【例8】化简■ ' - ■ ■■ ■- . .
【解】原式各项分母有理化得
原式一厂 / I 匸」 「肓 .^1 •，—=
【例9】化简
2+ 2々烦 4 + 2価 + 価
炉廁*+側術+兀加岳）
【方法导引】 这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁， 但我们不难发现每一个分数的分子
等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解：
1111
+ + +
^7+710 2 + V7 a/13 + a/w 4 + a/13
価-历+尼—屈-履亠4-历
~3~ ~ 3 3
= l(^0-A/7 + 77-2 + 7i3-# + 4-^) = |
•构造对偶式法
旳 + 2 + J/ -4 * 旳 + 2 + J, -4
【例10】化简' ■ 宀—-'* ［丨宀''
【解】构造对偶式，于是没
a = ?s +2 + 7^ -4 , b =幷 + 2-J* _4
则.? ■ ： 丨•，二：■，：「 :, ■-■ : : Td
a b
=一 + — •
原式 1 一：
ab ab 2
=^+2-2=
9 •由里向外，逐层化简
J1998 Jl 997 陌?Jl 995 * 1993 +1 + 1 +1
719943 =1994
而二 . .
J19 丽 995)1 = /199坯加99「1卩1 = = 1996
••原式 1,1 1 : 1 | - ■
【解后评注］对多重根式的化简问题，应采用由