矩阵可对角化的条件.doc

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第二节　矩阵可对角化的条件
　　定义1　如果矩阵 能与对角矩阵相似，那么称可对角化。
例1        设，那么有：，即。从而可对角化。
　　定理1 阶矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。
证明：必要性　如果可对角化，那么存在可逆矩阵，使得　　　　
将按列分块得，从而有
因此有，所以是的属于特征值的特征向量，又由可逆，知线性无关，故有个线性无关的特征向量。
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充分性　设是的个线性无关的特征向量，它们对应的特征值依次为，那么有。令，那么是一个可逆矩阵且有：
  
因此有，即，也就是矩阵可对角化。
　　注 假设，那么，对按列分块得，于是有
，即，从而。可见，对角矩阵的元素就是矩阵的特征值，可逆矩阵就是由的线性无关的特征向量所构成的，并且特征向量的顺序依赖于对角矩阵。
　　定理2　矩阵 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
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证明：设是的个互不一样的特征值，是的属于特征值的特征向量，现对作数学归纳法证明线性无关。
当时，由于特征向量不为零，因此定理成立。
假设的个互不一样的特征值对应的个特征向量是线性无关的。设是的个互不一样的特征值，是的属于特征值的特征向量。又设
　　　　(1)
成立。那么有，又将(1)式两边同乘得：从而有,由归纳假设得，再由两两互不一样可得,将其代入(1)式得 ，因此有 ，从而线性无关。
　　推论1　假设 阶矩阵有个互不一样的特征值，那么可对角化，且。
　　定理3　设是阶矩阵的个互异特征值，对应于的线性无关的特征向量为，那么由所有这些特征向量〔 共 个 〕构成的向量组是线性无关的。
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