文档介绍：群的基本知识
群的基本知识
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二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（Einstein）发现相对论之后，对称性的研究在物理学中越来越重要。对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。物理学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性，如强作用的SU(2)同位旋对称，SU(3)色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU(1)的对称，偶偶核的U(6)动力学对称等等。从七十年代起，又开展了超对称性的研究。群论是研究对称性问题的数学基础，因此，它越来越受到物理学工作者的重视。
群
定义 设是一些元素的集合，.在中定义了乘法运算。如果对这种运算满足下面四个条件：
封闭性。即对任意，若，必有。
结合律。对任意，都有.
有唯一的单位元素。有，对任意，都有
有逆元素。对任意，有唯一的，使
则称为一个群。称为群的单位元素，称为的逆元素。
例1 空间反演群。
设和对三维实空间中向量的作用为
即是保持不变的恒等变换，是使反演的反演变换，定义群的乘法为从右到左连续对作用。集合构成反演群，.
例2 阶置换群，又称阶对称群。将个元素的集合映为自身的置换为
其中是的任意排列，表示把1映为，2映为，映为的映射。显然置换只与每列的相对符号有关，与第一行符号的顺序无关，如
= 。
定义两个置换和的乘积，为先实行置换，再实行置换，如
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= 。
容易看出在这乘法定义下，全部阶置换构成群。群共有个元素。
例3 平面三角形对称群，又称为6阶二面体群。
考虑重心在原点，底边与轴平行的平面上的正三角形，（）。保持正三角形不变的空间转动操作有
不转，绕轴转，绕轴转，
绕轴1转， 绕轴2转，绕轴3转
定义两个转动操作的乘积，如为先实行操作，再实行操作。，实行操作和实行操作后位置的变化，且可看出，实行操作和实行操作一样，因此。在上述乘法定义下，保持正三角形不变的全体转动操作构成群。是6阶群，.
例4 定义群的乘法为数的加法，则全体整数构成一个群，0是单位元素，和互为逆元素。同理，全体实数在加法下也构成一个群。但实数全体在乘法为数乘时，并不构成一个群，因为0没有逆元素。除去0以外的实数构成一个群。
例5 空间平移群。设是中的向量，是中任意一向量，定义空间平移为
定义两个平移和的乘积，为先实行平移，再实行平移，
故
群的单位元素是平移零向量，即不平移，其中是零向量，和是互逆元素。
例6 三维转动群。保持中点不动，设是过点的任一轴，绕轴转角的转动为。定义两个转动和的乘积，为先实行绕轴转角，再实行绕轴转角。则绕所有过点轴的一切转动构成群。群的单位元素是转角，即不转。绕同一轴，转角和的元素，互为逆元素。
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由上述例子可以看出群的元素不但可以是数，而且可以是空间反演、空间转动、空间平移等操作，也可以是置换等等。
当群的元素个数有限时，称为有限群。当的元素个数为无限时，称为无限群。空间反演群、群、群是有限群，例4至例6是无限群。
有限群的元素的个数称为群的阶，有时记为。反演群是二阶群，是6阶群，是阶群。
群的乘法，可以是数乘和数的加法，也可以是空间反演、转动等连续两次操作和连续两次置换等等。有限群的乘法规则，可以列为乘法表。无限群的乘法虽然不能列出乘法表，但乘法规则总是确定的。
群的乘法一般不具有可交换性。即对任意，一般说来与并不相等。如果对任意，有，则称是可交换群或阿贝尔(Abel)群。
从前面例子还可以看出，群的任何元素可以用指标标记。当是阶有限群时，指标取，群元用表示。当是可数的无限群时，如整数加法群，可以取所有整数值，。当是连续的无限群时，如实数加法群，有时取全体实数，有时取多个有序的连续变化的实数：如在平移群中，是三个无界的有序实数，
又如在转动群中，是3个有界的有序实数，其中是转轴的方位角，是转动角度，而且，,综上所述，群是任一个元素，总可用在一定范围内变化的一个数标记为，给出此范围中任一个数，就对应群的一个元素。
（重排定理） 设，当取遍所有可能值时，乘积给出并且仅仅一次给出的所有元素。
证明 先证中任意元素可以写成的形式。因为，所以，自然有。
再证当不同时，给出中不同的元素。用反证法，设，而，两边左乘得，这与可以唯一标记中元素矛盾。故时，。于是当
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改变时，给出并仅一次给出的所有元素。定理证毕。
系在取遍所有可能值时，也给出并且仅仅一次给出群的所有元素。
重排定理是关于群的乘法的重要