文档介绍：第一部分椭圆相关知识点讲解
点与椭圆的位置关系：
点 P(x0, y0)在椭圆外 +察~〉1;
a b
2 2
点 P(x0, y0)在椭圆上 —y + — 1 ；
a b
2 2
点 P('o, y。)在椭圆内 V＞-^~ + 粉~＜1
a b
椭圆的简单几何性质
2 2
椭圆：与+仁二1(。＞人＞0)的简单几何性质 a b
对称性：对于椭圆标准方程一+ = 1(】＞人＞0)：说明：把x换成- x、或把y换
a b
2 2
成一V、或把x、y同时换成-X、—V、原方程都不变，所以椭圆「+二=1是以x轴、 a~ 人一
y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为 椭圆的中心。
(2)范围:
椭圆上所有的点都位于直线x = ±。和y = 土力所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足
|x \ ＜a, |y | ＜ Z? o
(3)顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
2 2
②椭圆二+仁=1(。＞人＞0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 a b
A】 (-(2,0), A2 (a,0), B1 (0,-b), B2 (0, b)
③线段A4,片旦分别叫做椭圆的长轴和短轴，| AA | = 2«, | B©2 \ = 2bo a和
b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
：
相交：A〉。。直线与椭圆相交;
相切：^二。。直线与椭圆相切;
相离：△＜0。直线与椭圆相离;
椭圆一？ + %■ = 】与— = 1 (a ＞人＞ 0)的区别和联系 a~ b~ a~ b'
：若直线y = kx + b与圆锥曲线相交于两点A、B,且石分别为A、B的横坐 标，则|ab| = J1+好幅_对，若打以分别为a、b的纵坐标，则|ab| =
：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆
-V2 b~x
二+七=1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=-1 ；
a~ b~ a'yQ
第三部分 典型例题分析
类型一：求椭圆的方程
1、 已知椭圆〃ix2 +3y2 -6m = 0的一个焦点为(0, 2)求的值.
2、 已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0), a = 3b,求椭圆的标准方程.
3、 AABC的底边BC = 16, AC和A3两边上中线长之和为30,求此三角形重心G的轨 迹和顶点A的轨迹.
4、 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为白区和为
3 3
过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.
类型二：过中点弦直线方程
1已知椭圆—+v2=l，(1)求过点且被F平分的弦所在直线的方程；
2 ' <2 2)
求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
过A(2,l)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
椭圆上有两点P、Q,。为原点，且有直线OP、。。斜率满足kOP-kOQ=-^,
求线段PQ中点M的轨迹方程.
已知一直线与椭圆4x2+9y2 =36相交于A、B两点，弦A、B的中点坐标求直 线AB的方程。
类型三：弦长公式
1已知椭圆4工2 + y2 =1及直线y