文档介绍：完美版圆锥曲线知识点总结
完美版圆锥曲线知识点总结
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完美版圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线的方程与性质
1．椭圆
（1）椭圆概念
平面内与两个定点 F
、 F2 的距离的和等于常数
2 a （大于 | F F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆
1
1
的焦点，两焦点的距离
2c 叫椭圆的焦距。若
M 为椭圆上任意一点，则有
|MF1 | |MF2 |
2a 。
椭圆的标准方程为：
x2
y2
1（ a b
0
y2
x 2
1（ a
b 0 ）（焦点在 y 轴
a2
b2
）（焦点在 x 轴上）或
2
b 2
a
上）。
注：①以上方程中
a,b 的大小 a
b
0 ，其中 b2
a2
c2 ；
②在 x2
y2
1 和 y2
x2
1 两个方程中都有 a
b
0 的条件，要分清焦点的位置，只要看
x2 和 y2
的分
a2
b2
a2
b2
母的大小。例如椭圆
x2
y2
（ m
0
， n 0 ， m
n ）当 m
n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆；当 m
n 时
m
1
n
表示焦点在 y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
x2
y2
1 知 | x | a ， | y | b ，说明椭圆位于直线 x
a ， y
b 所围成的矩形里；
①范围：由标准方程
b2
a2
②对称性：在曲线方程里，若以
y 代替 y 方程不变，所以若点
(x, y) 在曲线上时，点
(x, y) 也在曲线上，
所以曲线关于 x 轴对称，同理，以
x 代替 x 方程不变，则曲线关于
y 轴对称。若同时以
x 代替 x ， y 代替 y
方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心
叫椭圆的中心；
③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与
x 轴、
y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令
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x 0 ，得
y
b ，则 B1(0, b) ，
B2
(0, b)
是椭圆与
y 轴的两个交点。同理令
y 0 得
x
a ，即
A1 (
a,0)
，
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A2
(a,0)
是椭圆与
x 轴的两个交点。
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所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
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同时，线段
A1A2 、
B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为
2a 和 2b ， a 和 b 分别叫做椭圆的长
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半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知： 椭圆的短轴端点到焦点的距离为
a ；在 Rt OB2 F2 中，| OB2 |
b ，|OF2 | c ，| B2 F2 | a ，
且 |OF2 |2 | B2 F2 |2
| OB2 |2 ，即 c2
a2
b2 ；
④离心率： 椭圆的焦距与长轴的比
e
c
0
e
1，且 e 越接近 1， c 就
叫椭圆的离心率 。∵ a c 0 ，∴
a
越接近 a ，从而 b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，
e 越接近于 0 ，