文档介绍：1）例：计算n阶行列式
[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。
解：
2) 加边法（升阶法）
有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。当然，加边后必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式较易计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。
加边法的一般做法是：
特殊情况取 或
例1:计算n 阶行列式：
[分析] 我们先把主对角线的数都减1，这样我们就可明显地看出第一行为x1与x1,x2,…, xn相乘，第二行为x2与x1,x2,…, xn相乘，……，第n行为xn与 x1,x2,…, xn相乘。这样就知道了该行列式每行有相同的因子x1,x2,…, xn，从而就可考虑此法:
2）计算n阶行列式
解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得
2. 向量组的秩
引例：对于方程组
容易发现其有效方程的个数为2个，因为第3个方程可由第1个方程减去第2个方程得到（或者第3个方程是第1个方程和第2个方程的线性组合）
最大线性无关组：在中，存在满足：
（1）线性无关；
（2）在中再添加一个向量就线性相关。
则称是的一个最大线性无关组.
向量组的秩：称最大线性无关组中所含向量的个数为向量组的秩，如上面定义中是的一个最大线性无关组，则称的秩为，记为.
定理：矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩.
例：求向量组
的秩及一个最大线性无关组，并将其余的向量用最大线性无关组表示.
解：
所以，
是的一个最大线性无关组。（当然易见亦是的一个最大线性无关组）
为了把用线性表示，把再变成行最简形矩阵
易见.
线性方程组解定理
方程组
矩阵秩与关系
结论
解的形式（结构）
无穷多解
仅有零解
无穷多解
唯一解
无解
不是的列的线性表示
其中，为的一个基础解系
是的一个解
1. 求当取何值时，线性方程组
有解，在有解的情况下求方程组的一般解．
解 将方程组的增广矩阵化为阶梯形
所以，当时，方程组有解，且有无穷多解，
答案：其中是自由未知量．
2．求当取何值时，线性方程组
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
当时，方程组有解，且方程组的一般解为
其中为自由未知量．
3. 设向量组线性无关，令，，，证明向量组线性无关.
证明：设存在，使
即因为线性无关
所以
所以方程组有惟一解——零解，所以线性无关
4. 矩阵的特征值与特征向量
例题：已知0是的特征值，求的特征值与特征向量.
因为0是的特征值