文档介绍：相似三角形中的辅助线添加和相似三角形证明技巧
在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进展相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：
一、作平行线
例1. 如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：
证明：过点C作CG//FD交AB于G
小结：此题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。
例2. 如图，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。
分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。
方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，那么△EMC∽△ABC〔两角对应相等，两三角形相似〕。
方法二：如图，过D作DN//EC交BC于N
二、作垂线
3. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：。
证明：过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N ∴ ∽
∴ ∴ 〔1〕
又 ∽ ∴ ∴ 〔2〕
〔1〕+〔2〕
又 ∴ AN=CM
∴
三、作延长线
例5. 如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF
解析：欲证式即 由“三点定形〞，ΔBFG与ΔCFG会相似吗？显然不可能。〔因为ΔBFG为RtΔ〕，但由E为CD的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。
不妨延长GF与AC的延长线交于H
那么
∴
又ED=EC ∴FG=FH 又易证RtΔCFH∽RtΔGFB
∴ ∴FG·FH=CF·BF
∵FG=FH ∴FG2=CF·BF
四、作中线
例6 如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，假设BD=DC=EC=1，求AC。
解：取BC的中点M，连AM ∵ AB⊥AC ∴ AM=CM ∴ ∠1=∠C
又 BD=DC ∴ ∴
∴ ∽ ∴ 又 DC=1 MC=BC
∴ 〔1〕
又 ∽ 又 ∵ EC=1 ∴ 〔2〕
由〔1〕〔2〕得， ∴
小结：利用等腰三角形有公共底角，那么这两个三角形相似，取BC中点M，构造与相似是解题关键
练****题
1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。
求证：EF×BC=AC×DF
2、中，，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点〔不是中点〕，MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：。
例1： ：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．
求证： BC2＝2CD·AC．
证法一〔构造2CD〕：如图，在AC截取DE＝DC，
∵BD⊥AC于D，
∴BD是线段CE的垂直平分线，
∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，
又∵ AB＝AC，
∴∠C=∠ABC．
∴ △BCE∽△ACB．
∴， ∴
∴BC2＝2CD·AC．
证法二〔构造2AC〕：如图，在CA的延长线上截取AE＝AC，连结BE，
∵ AB＝AC，
∴ AB＝AC=AE．
∴∠EBC=90°，
又∵BD⊥AC．
∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°，
∴∠E=∠DBC，
∴△EBC∽△BDC
∴即
∴BC2＝2CD·AC．
证法三〔构造〕 ：如图，取BC的中点E，连结AE，那么EC=．
又∵AB=AC，
∴AE⊥BC，∠ACE=∠C
∴∠AEC=∠BDC=90°
∴△ACE∽△BCD．
∴即．
∴BC2＝2CD·AC．
证法四〔构造〕：如图，取BC中点E，连结DE，那么CE= ．
∵BD⊥AC，∴BE=EC=EB，
∴∠EDC=∠C
又∵AB=AC，∴∠ABC