文档介绍：平面向量具有“数”和“形”的“双重身份”，是数形结合的典范．准确把握平面向量的概念与运算，正确理解向量的几何意义，充分发挥图形的直观作用，挖掘“式”和“形”中隐含的几何关系和数量关系，这样才能较好地解决平面向量问题．在熟练掌握解决平面向量问题的通性通法的基础上，还要体味如何巧解平面向量问题，下面的“五巧”要尽量掌握．
一、巧用向量中点公式
在平面内，设点为线段的中点，为任意一点，则．
例1（2011年高考上海卷·文18）设是平面上给定的4个不同点，则使成立的点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
分析：由条件得，联想向量中点公式进行简化得（其中为线段的中点，为线段的中点），进而得到为的中点，问题即可获解．
解：设为线段的中点，为线段的中点，由条件得，即，所以向量与是相反向量，且共用起点，所以为的中点，所以点的个数是唯一的，选B．
点评：利用向量中点公式对条件向量等式进行简化，化归为熟知的问题，简捷获解．
【牛刀小试】（赣州市2011届高三摸底考试）在长方形中，，，为的中点，若是线段上动点，则的最小值是_________．
（解：由题意得．因为为的中点，所以，设（），则，
，故所求最小值为．）
二、巧用
例2（2011年高考上海卷·理11）在正三角形中，是上的一点，，，则_________．
分析：欲求，而、虽然可以利用条件求出，但是显得繁琐；注意到，，，作垂足为，则可将转化为，可快速获解．
解：如图，过点作垂足为，则
．
点评：利用结合问题的特征（数量、图形），数形结合，将要求解的目标进行转化，利于沟通条件而快捷获解．
【牛刀小试】（2011年高考湖南卷·理14）在边长为1的正三角形中，设，，则_________．
（解：依题意为的中点，，所以
．）
三、巧用平面内三点共线的充要条件
平面内三点共线（）对平面内任意一点，使得（其中，）．
例3（2011届北京市东直门学校第二次月考）已知是平面上不共线的三点，为的外心，为的中点，动点满足
()，则点的轨迹一定过的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
分析：审视条件向量等式，有，问题即可获解．
解：因为，，所以三点共线．又为的中点，所以点的轨迹一定过的重心，选C．
点评：利用平面内三点共线的充要条件快捷揭去条件向量等式的“包装”露出三点共线这个“内核”，问题迎刃而解．
【牛刀小试】（哈尔滨市2011届高三第二次月考试题）如图，在中，于，为的中点，若，则_________．
（解：因为为的中点，三点共线，所以，．所以，所以）
四、巧用常用结论
（1）三角形四心的向量表示：在中，角所对的边分别为，①为外心；②为重心；③为垂心
；④为内心．（2）（简化为）所在的直线一定通过的内心（即为的角平分线）；（3）所在的直线一定通过的重心；（4）（简化为，可证得）所在直线一定通过的垂心．
例4（上海市浦东新区2011届高三质量抽测）点在所在平面内，给出下列关系式：（1）；（2）；（3）
；（4）．则点依次为的（ ）
A．内心、外心、重心、垂心 B．重心、外心、内心、垂心
C．重心、垂心、内心、外心 D．外心、内心、垂心、重