文档介绍：§8-1 无旋流动
一、速度势
1、速度势的定义：
如果流体的运动为无旋流， 则有：
=
z
u
y
y
u
z
=
z
u
x
x
u
z
=
x
u
y
y
u
x
此关系式是使：（ u x dx + u y dy + u z dz）成为某一函数 （x，y，z）的全微分的充分且必需条件，故必有一函数 （x，y，z），此函数即称为速度势或速度势函数。所以无旋流也称为有势流。
对有势流，只要确定了
速度势 ，即可确定出
u x 、u y 、u z 的值，
而不必求出 u x 、u y 、u z
的三个函数表达式，从而简
化有势流分析过程。
由此可知，必有：
dz
u
dy
u
dx
u
d
z
y
x
+
+
=
u
x
x
=
u
y
y
=
u
z
z
=
；
；
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2、速度势的性质
（1）速度势对任意方向的偏导数等于速度在该方向上的分量，即
（可由方向导数的定义证之，s代表任意方向）
（2）速度势值的大小沿流线方向增加
（ds沿流线方向的位移为正。则若知道流线方向，即可确定速度势的增值方向）
（3）等势线（面）：速度势相等的点连成的线（面）
c值不同得不同的等势线。
（4）速度势满足拉普拉斯方程（不可压缩流体无旋流动的连续性方程），
— 拉普拉斯算子
是调和函数
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P208-29 例题自学
3、速度势的极坐标形式
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二、流函数 是研究流体平面运动的一个很重要的概念，
是为了用流网法求解平面势流所引入的一个概念。
平面流动：在流场中某一方向（取z轴）流速为零，而另两方向流速ux、uy与上述轴向坐标z无关的流动。
1、流函数（不可压缩、均质流体的平面流动）
不可压缩流体平面流动连续性方程：
定义函数
函数
称为流函数。
不可压缩连续流体的平面流动必存在流函数 。
不管是无旋、有旋，理想、实际流体，都存在流函数，所以流函数更具普遍性，是研究平面流的一个重要工具。
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n
x
s1
s2
ψ2
ψ1
u
y
2、流函数的性质
（1）流函数等值线—由流函数相等的点连成的曲线。
性质：①同一流线上的流函数值相等。
②流函数线就是流线。
令 ，一个常数对应一条流线。
（2）流函数值沿流线s方向逆时针旋转90°后的方向n增加。 (证明略）
（3）平面势流的 是调和函数，满足拉普拉斯方程。
即：
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3、注：①只要 ，即存在流函数。（流体连续，动是平面流动）
②只要 ，即存在速度势函数。（无旋流）
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三、流函数与速度势的关系
1、流函数与速度势为共轭函数。即：
2、流函数与势函数正交（流线与等势线垂直）。
四、流网 —— 由等势线和等流函数线构成的正交的网格，即流网。
1、性质：
（1）等势线与等流函数线正交，即流线与等势线正交；
（2）相邻两流线的流函数值之差，是此两流线间的单宽流量，即
或
柯西-黎曼条件
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证明：在 、 上取a、b两点，
从a到b取dx、dy，流速分别为ux、uy，
则 ，（由a到b，dx为负值）
或
a
b
c
ux
uy
dy
dx
x
y
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(3)流网中每一网格的边长之比（dn/dm）等于 与ψ的增值之比(d /dψ)。
即： d /dψ = dn/dm
证明：设dn为两等势线间网格边长，则在x、y方向投影