三重积分的计算及重积分的应用.ppt

文档介绍：把积分
化为三次积分,
其中由曲面
提示: 积分域为
原式
及平面
所围成的闭区域 .
P183 题7
练习题
第一页，共51页。
计算三重积分
其中是由
xoy平面上曲线
所围成的闭区域 .
提示: 利用柱坐标
原式
绕 x 轴旋转而成的曲面与平面
P183 题8(3)
第二页，共51页。
三重积分计算的基本技巧
分块积分法
利用对称性
1. 交换积分顺序的方法
2. 利用对称性简化计算
3. 消去被积函数绝对值符号
1. 积分区域关于坐标面的对称性.
2. 被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇偶性.
只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才
能简化.
利用对称性简化三重积分的计算：
第三页，共51页。
其它情形依此类推.
三重积分计算的简化
第四页，共51页。
P182 题1(1)
设有空间闭区域
则有（ ）
第五页，共51页。
例1
解
典型例题
第六页，共51页。
例2
解
利用球面坐标
第七页，共51页。
例3
解 在球坐标系下
利用洛必达法则与导数定义,得
其中
第八页，共51页。
第四节
一、立体体积
三、物体的质心
重积分的应用
第十章
四、物体的转动惯量
二、曲面的面积
五、物体的引力
第九页，共51页。
二重积分的元素法
将定积分的元素法推广到二重积分，可得二重积分的元素法：
若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性：
并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域dσ时，相应地部分量可近似地表示为f(x,y) dσ的形式，其中(x,y)在dσ内。
f(x,y) dσ称为所求量U的元素，记为dU，则所求量的积分表达式为：
（即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和），
第十页，共51页。