文档介绍：一、正项级数及其判别法
若
定理 1. 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
若
收敛 ,
∴部分和数列
有界,
故
从而
又已知
故有界.
则称
为正项级数 .
单调递增,
收敛 ,
也收敛.
证: “ ”
“ ”
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都有
定理2 (比较判别法)
设
且存在
对一切
有
(1) 若强级数
则弱级数
(2) 若弱级数
则强级数
证:
设对一切
则有
收敛 ,
也收敛 ;
发散 ,
也发散 .
分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
是两个正项级数,
(常数 k > 0 ),
因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,
故不妨
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(1) 若强级数
则有
因此对一切
有
由定理 1 可知,
则有
(2) 若弱级数
因此
这说明强级数
也发散 .
也收敛 .
发散,
收敛,
弱级数
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例1. 讨论 p 级数
(常数 p > 0)
的敛散性.
解: 1) 若
因为对一切
而调和级数
由比较判别法可知 p 级数
发散 .
发散 ,
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因为当
故
考虑强级数
的部分和
故强级数收敛 , 由比较判别法知 p 级数收敛 .
时,
2) 若
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在
对一切
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证明级数
发散 .
证: 因为
而级数
发散
根据比较判别法可知,
所给级数发散 .
例2.
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定理3. (比较判别法的极限形式)
则有
两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0
(3) 当 l =∞
证: 据极限定义,
设两正项级数
满足
(1) 当 0 < l <∞ 时,
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由定理 2 可知
同时收敛或同时发散 ;
(3) 当l = ∞时,
即
由定理2可知, 若
发散 ,
(1) 当0 < l <∞时,
(2) 当l = 0时,
由定理2 知
收敛 ,
若
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是两个正项级数,
(1) 当 时,
两个级数同时收敛或发散 ;
特别取
可得如下结论 :
对正项级数
(2) 当 且 收敛时,
(3) 当 且 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
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