文档介绍：函数定义域与思维品质

思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现。它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。函数作为高中数学的主线,贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一,函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的,然而在解决问题中不加以注意,常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响,对提高学生的数学思维品质是十分有益的。
函数关系式与定义域
函数关系式包括定义域和对应法则,所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域,否则所求函数关系式可能是错误。如:
例1:某单位计划建筑一矩形围墙,现有材料可筑墙的总长度为100m,求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?
解:设矩形的长为x米,则宽为(50-x)米,由题意得:

故函数关系式为:.
如果解题到此为止,则本题的函数关系式还欠完整,缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于50的数时,S的值是负数,即矩形的面积为负数,这与实际问题相矛盾,所以还应补上自变量的范围:
即:函数关系式为: ()
这个例子说明,在用函数方法解决实际问题时,必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点,就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化,就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。
函数最值与定义域
函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。如果不注意定义域,将会导致最值的错误。如:
例2:求函数在[-2,5]上的最值.
解:∵
∴当时,
初看结论,本题似乎没有最大值,只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路,而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现,也说明学生思维缺乏灵活性。
其实以上结论只是对二次函数在R上适用,而在指定的定义域区间上,它的最值应分如下情况:
⑴当时,在上单调递增函数;
⑵当时,在上单调递减函数;
⑶当时,在上最值情况是:
,
.即最大值是中最大的一个值。
故本题还要继续做下去:
∵
∴
∴
∴函数在[-2,5]上的最小值是- 4,最大值是12.
这个例子说明,在函数定义域受到限制时,若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响,并在解题过程中加以注意,便体现出学生思维的灵活性。
函数值域与定义域
函数的值域是该函数全体函数值的集合,当定义域和对应法则确定,函数值也随之而定。因此在求函数值域时,应注意函数定义域。如:
例3:求函数的值域.
错解:令
∴
故所求的函数值域是.
剖析:经换元后,应有,而函数在[0,+∞)上是增函数,
所以当t=0时,ymin=1.
故所求的函数值域是[1, +∞).
以上例子说明,变量的允许值范围是何等的重要,若能发现变量隐含的取值范围,精细地检查解题思维的过程,就可以避免以上错误结果的产生。也就是说,学生若能在解好题目后,检验已经得到的结果,善于找出和改正自己的错误,善于精细地检查思维过程,便体现出良好的思维批判性。
函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时,函数值随着增减的情况