文档介绍：(1)
由题目可看出以下几点:
在决策时采用不同的决策方法会产生不同的结果;
对方决策透明了后,就不存在博弈问题了;
不同决策会产生不同结果时才会产生博弈问题,即不同决策产生相同结果
时就不存在博弈了。
赛马前田忌与齐王都不知道对方马的出场顺序时,而双方都想通过调整马的
出场顺序赢得比赛,则这是博弈问题。
反之,如果一方出场顺序已被对方知道,即对方决策已确定且被知道,那么
这就是单人决策问题。
(2)
该博弈不存在纯战略纳什均衡,具体证明及混合纳什均衡的模型见以下数学
模型:
一、问题重述
“田忌赛马”是一个家喻户晓的故事:战国时期,齐国将军田忌经常与齐王赛
马,设重金赌注,孙膑发现田忌与齐王的马脚力都差不多,可分为上、中、下三
等。于是孙膑对田忌说:“您只管下大赌注,我能帮你取胜。”田忌相信并答应了
他,与齐王用千金来赌注。比赛即将开始,孙膑对田忌说:“现在用您的下等马
对付他的上等马,拿您的上等马对付他的中等马,拿您的中等马对付他的下等马。”
三场比赛完后,田忌只有一场不胜而另两场胜,最终赢得齐王的千金赌注。
现在假定齐王与田忌约定比赛开始前双方同时决定马的出场顺序,并且以后不
可改变。
二、基本假设
1 齐王与田忌约定比赛开始前双方同时决定马的出场顺序,并且以后不可改变;
2 比赛过程不会发生其他的意外情况;
3 双方马的脚力每等齐王的比田忌的都略强。
三、问题分析
该问题可以看成是一个博弈问题,双方有三种马的出场顺序,不同的出场顺序
产生不同结果,通过建立数学模型来分析双方以怎样的出场顺序会得到怎样的结
果。
由于齐王的各等马均略强于田忌的,因此田忌只有通过合理的安排马的出场顺
序才能赢得比赛。
四、模型建立
参与博弈的双方用 N=(1,2)表示,1 为田忌,2 为齐王;
田忌:a1(1 2 3) a2(1 3 2) a3(2 1 3)
a4(2 3 1) a5(3 2 1) a6(3 1 2)
表示其六种出场顺序;
齐王:b1(1 2 3) b2(1 3 2) b3(2 1 3)
b4(2 3 1) b5(3 2 1) b6(3 1 2)
表示其六种出场顺序。
设比赛赢一场记一分,则对田忌的赢得分数:
b1 b2 b3 b4 b5 b6
a1 -3 -1 -1 -1 -1 1
a2 -1 -3 -1 -1 1 -1
a3 -1 1 -3 -1 -1 -1
a4 1 -1 -1 -3 -1 -1
a5 -1 -1 1 -1 -3 -1
a6 -1 -1 -1 1 -1 -3
考虑表中数字,可写如下矩阵:
-3 -1 -1 -1 -1 1
-1 -3 -1 -1 1 -1
A= -1 1 -3 -1 -1 -1
1 -1 -1 -3 -1 -1
-1 -1 1 -1 -3 -1
-1 -1 -1 1 -1 -3
由于它是田忌赢得表中数字依次抽象出来的,所以这个矩阵 A 为田忌的赢得矩
阵;
相反,齐王的赢得矩阵为:-A
很明显,此时田忌赛马不存在纯纳什均衡,只存在混合纳什均衡。
对于不存