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第4讲巧数长(正)方形的个数
数图形时要有次序、有条理,才能不遗漏、不重复,一般步骤应是:仔细观察,发现规律,应用规律。
长方形是用“点”或者“线”来数的,而正方形是用“块”来数的。
数长方形的公式:长边上的线段和×宽边上的线段和
数正方形的公式:1、一个被划分成m×n的小正方形的长方形中共可以数出的正方形的个数是:
m×n+(m-1)×(n-1)+(m-2)×(n-2)+…………………………+1×【n-(m-1)】(其中m<n)
2、当m=n时,即一个划分成n×n=n2个小正方形的正方形中,共可以数出正方形的个数是:n2+(n-1)2+……………………+22+12
典型例题:
1、长方形的构成必须有长和宽,下图中有许多长方形,你能数出它们有多少个?
分析与解答:
因为长方形的构成与长的线段数有关,也与宽的线段数有关,所以数长方形的个数必须要看长与宽两个因素。
上图上长有6条线段,即3+2+1=6(个) 宽边上有3条线段,即2+1=3(个)
因此,根据数长方形公式:6×3=18(个)
答:上图中共有18个长方形。
2、下图中共有多少个长方形?
分析与解答:
这道题比例1横竖都多了一条线,那么长方形的个数明显增多了,利用公式仍然要数出长边上的线段数和宽边上的线段数即
长边上的线段和:4+3+2+1=10个宽边上的线段和:3+2+1=6个
因此根据数长方形公式:10×6=60个
答:上图中共有60个长方形。
3、下图中共有多少个正方形?
分析与解答:
我们先来数一数:只含一个正方形的有9个(即3×3=9);含有4个正方形的有4个(即2×2=4);含有9个正方形的有1个。
通过刚才的数,我们发现图中正方形的个数为1×1+2×2+3×3=1+4+9=14个,以后我们碰到类似的题目可以用这种方法数出正方形的个数。
4、下图中共有多少个正方形?
分析与解答:
这道题显然与上题不一样,虽然都是由基本小正方形组成,但长和宽里的个数不一样,即小正方形拼接成了一个长方形,那么方法也要有所改变。先看长边上小正方形的个数,有5个,再看宽边上小正方形的个数,有3个,我们还用数的方法试试,只含有一个小正方形的有3×5=15个,含4个小正方形的有(3-1)×(5-1)=8个,含9个小正方形的有(3-2)×(5-2)=3个,
通过刚才的数,我们发现图中正方形的个数为:
3×5+(3-1)×(5-1)+(3-2)×(5-2)=26个
答:图中共有26个