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§ 2 矩、协方差和相关系数
.原点矩与中心矩:
1. 定义1:
设X为一随机变量,若EXk 1,
2,存在,则称它为X的A阶原点矩,记为丑,即
wit
0?* = EX^ (左=1, 2,…〉.
显然,X的1阶原点矩就是/的数学期^EX.
2 .定义2:
设兀为一随机Sftj若
m*=E〈X—EXV (k — 1^ 2, •••) *
*^■**^**1 化工尹"
显然,X的2阶中心矩就是天的方潼D(X).
(参看 )
二相关系敎
对于二维随机变量(X, Y),——协方差和相关系数.
二维随机变量的均值:
(1)离散型随机变量;设(x, y)的联合分布律为
P(X 二眄“¥ =乃)=Pit 边缘分布为
spspi
E(X =码)=P.=
匕(丫=刘)=B =
则数学期望为
E(X)二律片-S 5>局 i i J
E(Y) = = S
■ * *
⑵连续型随机变量设(x,y)的联合密度函数为
边缘密度曲数为办则数学期望为
r+«>
e{x)=说 a)业=
J —DO
E( Y) = [ yf\(y)dy =
J "8
(3)
二维随机变量,若 Z = g((Z) = E(g(XY))・
1) 离散型随机变#,£(Z) = EE/%刃)耳,一
1 *
J *
2) 连续型随机变量北⑵二J](匚Z(工J)dy)dz.
(参看 2 5 1 2 7 )
2,协方差与相关系数:
对于二维陡机变量ogq,除了研究兀y各自的期望和方差之外,.
定义设cv,y)是二维随机变量,若
E{[X-E(X)]V-E(TO}
存在,则把它称作*和f的协方墓记作cov(xTnf即 cov(X? Y) = E{[X-EGO][y-EQO]}.
又若ZXJD罰D(Y)M,则称
n cov(J>y)
xr^7o(Tr-7o(n
为乳和了的相关系数・
相关系数 xy也常记为(X, Y),或简记为
)常常简记成4和为与。紬相对应,对于D<X)r
ZXY)也常分别记成<7心和5“
从定文看来,相关系数P注与协方差乐¥只差一个常数倍,
P刖是掾准化了的协方差J
3.
相关黍数具有下列性质:
(1)I p(zVty)|
⑵若兀与卩相互独立,则pcx,r)=o
⑶I p{X,Y) I =1的充要条件是X与F依概率]线性相关,即存在两个常数口和方,且a+0,使P仔 wX+b}
=1
E {[5嚴吕掠篇丁卜1 土细才』)+1曲
即得
—y)<i
所以
I MX, Y) ! <1
(2) 当X、丫相互独立时有
cor(x, Yy^Eux-Exya-EY)-}
= :E{X-EX)^E(Y-EYn
因此
O',} v/x)(A) /OW)
(3) 从略
从上述性质可以看出,