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函数中任意性和存在性问题探究
高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题 对此类问题进行归纳探究
一、相关结论：
结论仁-咅[a,b],-X2 [c,d], f(N)g(X2)= [f gg [g(x)]max ；【如图一】
结论 2:为[a,b], X2 [C,d], f(xj . g(X2)= [f(x)]max [g(x)]min ；【如图二】
结论 3:-％ [a,b], X2 [C,d], f (xj • g(X2)= [f(x)]min [g(x)]min ；【如图三】
结论 4:为[a,b], -X2 [c,d], f(Xj g(X2)= [f(x)]max [g(x)]max ；【如图四】
结论5： x「[a,b], x2 • [c,d], f (xj =g(x2)= f (x)的值域和g(x)的值域交集不为空;
【如图五】
•S(y)耐
图_
图二
田五
例题 1：已知两个函数 f (x) =8x2 16x -k,g(x) =2x3 5x2 4x,x [-3,3],k R；
(1)若对-x・[-3,3],都有f(x)空g(x)成立，求实数k的取值范围；
⑵ 若x・[-3,3]，使得f(x) "(x)成立，求实数k的取值范围；
⑶ 若对一冷x2 • [ -3,3],都有f (xj冬g(x2)成立，求实数k的取值范围;
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解：(1)设 h(x)二 g(x) -f (x) = 2x「3x「12x，k,( 1)中的问题可转化为：x・[-3,3]
时，h(x) _0恒成立，即[h(x)]min -0。
h'(x) =6x2 -6x-12 =6(x-2)(x 1)；
当x变化时，h(x), h'(x)的变化情况列表如下:
X
-3
(-3,-1)
-1
(-1,2)
2
(2,3)
3
h\x)
+
0
一
0
+
h(x)
k-45
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
k-9
因为 h(-1)=k 7,h(2)二k-20，所以，由上表可知[h(x)]min 二k-45，故 k-45 > 0，得
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k> 45,即 k € [45,+ g).
小结：①对于闭区间I，不等式f(x)<k对x€ I时恒成立二[f(x)] max<k, x € I;不等式f(x)>k 对 x € I 时恒成立二[f(x)] min>k, x € I.
②此题常见的错误解法：由[f(X)]maxW[g(x)]min解出k的取值范围•这种解法的错误在于条 件“ [f(x)] max< [g(X)]min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价
(2)根据题意可知，(2)中的问题等价于h(x)= g(x) — f(x) > 0在x € [-3,3]时有解，故[h(x)] max > 0.
由(1)可知[h(x)] max= k+7，因此 k+7 >0, 即卩 k € [7,+ g).
⑶根据题意可知，(3)中的问题等价于[f(x)] maxW[g(X)]min , x€ [-3,3].
由二次函数的图像和性质可得 ，x € [-3,3]时，[f(x)] max=120