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三角形中的最值〔或围〕问题
解三角形问题,可以较好地考察三角函数的诱导公式,恒等变换,边角转化,正弦余弦定理等知识点,是三角,函数,解析几何和不等式的知识的交汇点,在高考中容易出综合题,其中,三角形中的最值问题又是一个重点。其实,这一局部的最值问题解决的方法一般有两种:一是建立目标函数后,利用三角函数的有界性来解决,二是也可以利用重要不等式来解决。
类型一:建立目标函数后,利用三角函数有界性来解决
△ABC中,分别是角的对边,且2asinA =〔2b+c〕sinB+〔2c+b〕sinC.
(1) 求角A的大小;〔2〕求的最大值.
变式1:向量,,且,其中是△ABC的角,分别是角的对边.
(1) 求角的大小;〔2〕求的最大值.
解:由,得a+b—c=ab=2abcosC
所以cosC=,从而C=60
故=sin(60+A)
所以当A=30时,的最大值是
⊿ABC中,假设有2R〔sinA—sinC〕=〔a—b〕sinB成立,试求⊿ABC的面积S的最大值。
解:根据题意得:
2R(—)=(a—b)*
化简可得 c=a+b—ab, 由余弦定理可得:
C=45, A+B=135
S=absinC=2RsinA*2RsinB*sinC
=sinAsin(135—A)
=(sin(2A+45)+1
∵0<A<135∴45<2A+45<315
∴当2A+45=90即A=15时,S取得最大值。
类型二:利用重要不等式来解决
例2〔13年中学〕在中,角A,B,C的对边分别为且.
〔1〕假设,且<,求的值.〔2〕求的面积的最大值。
解〔1〕由余弦定理,
∴
∴,
又∵<,
解方程组
得或(舍).
∴
〔2〕由余弦定理,
∴
∵
∴,又
∴
即时三角形最大面积为
⊿ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c, ⊿ABC的外接圆半径R=,且=
〔1〕求B和b的值; 〔2〕求⊿ABC面积的最大值
解:由=,整理可得:sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB
即sin(B+C)= 2sinAcosB
∵A+B+C=π∴sinA =2sinAcosB
∵sinA≠0 ∴cosB=∴B=60
∵R=, ∴b=2RsinB=2sin60=3,
故角B=60,边b=3
由余弦定理得b=a+c-osB
即9=a+c-os60
∴9+ac= a+c≥2ac(当且仅当a=b时取等号)
即ac=9(当且仅当a=b=3时取等号)
∴三角形得面积s=acsinB≤*9*sin60=
∴三角形得面积的最大值是
变式4:⊿ABC中,假设AB=1,BC=2,那么角C的取值围是
答案:=2,c=1, ∴a=2c
∴2sinA=4sinC ∴sinC =sinA≤
∵0<C<A ∴0<C≤30
===(b+)≥,故0<C≤30
练****br/>1、在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,f(π,3)<C<f(π,2)且f(b,a-b)=f(sin2C,sinA-