文档介绍：高中数学数列基此题型及解法
,是其前项和,并且,
⑴设数列,求证:数列是等比数列;
⑵设数列,求证:数列是等差数列;
⑶求数列的通项公式及前项和。
分析:由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关,{a}中又有S=4a+2,可由S-S作切入点探索解题的途径.
解:(1)由S=4a,S=4a+2,两式相减,得S-S=4(a-a),即a=4a-4a.(根据b的构造,如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键,注意加强恒等变形能力的训练)
a-2a=2(a-2a),又b=a-2a,所以b=2b①
S=4a+2,a=1,a+a=4a+2,解得a=5,b=a-2a=3 ②
由①和②得,数列{b}是首项为3,公比为2的等比数列,故b=3·2.
当n≥2时,S=4a+2=2(3n-4)+2;当n=1时,S=a=1也适合上式.
综上可知,所求的求和公式为S=2(3n-4)+2.
说明:、等比数列的定义证明一个数列为等差,等比数列,求数列通项与前项和。解决此题的关键在于由条件得出递推公式。
,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的条件,在后面求解的过程中适时应用.
{an}的前项的和Sn=〔an-1〕(n+),〔1〕求a1;a2; (2)求证数列{an}为等比数列。
解: (Ⅰ)由,得∴又,即,得.
(Ⅱ)当n>1时,
得所以是首项,公比为的等比数列.
例4、设a1=1,a2=,an+2=an+1-an(n=1,2,---),令bn=an+1-an(n=1,2---)求数列{bn}的通项公式,(2)求数列{nan}的前n项的和Sn。
解:〔I〕因
故{bn}是公比为的等比数列,且
〔II〕由
注意到可得
记数列的前n项和为Tn,那么
,且满足
⑴求数列的通项公式;
⑵设,求;
⑶设=,是否存在最大的整数,使得对任意,均有成立?假设存在,求出的值;假设不存在,请说明理由。
解:〔1〕由题意,,为等差数列,设公差为,
由题意得,.
〔2〕假设,
时,
故
〔3〕
假设对任意成立,即对任意成立,
的最小值是,的最大整数值是7。
即存在最大整数使对任意,均有
说明:本例复****数列通项,数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。.
常用方法
观察法
例1:根据数列的前4项,写出它的一个通项公式:
〔1〕9,99,999,9999,…〔2〕
〔3〕〔4〕
解:〔1〕变形为:101-1,102―1,103―1,104―1,……
∴通项公式为:
〔2〕〔3〕〔4〕.
观察各项的特点,关键是找出各项与项数n的关系。
二、定义法
例2: 数列{an}是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列,假设函数f (x) = (x-1)2,且a1 = f (d-1),a3 = f (d+1),b1 = f (q+1),b3 = f (q-1),
(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式;
解:(1)∵a 1=f (d-1) = (d-2)2,a 3 = f (d+1)= d 2,
∴a3-a1=d2-(d-2)2=2d,
∴d=2,∴an=a1+(n-1)d =