文档介绍：第一届全国大学生数学竞赛预赛试题
一、填空题〔每题5分,共20分〕
,其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.
,且满足, 那么____________.
.
,其中具有二阶导数,且,那么_____.
二、〔5分〕求极限,其中是给定的正整数.
三、〔15分〕设函数连续,,且,为常数,求并讨论在处的连续性.
四、〔15分〕平面区域,为的正向边界,试证:
〔1〕; 〔2〕.
五、〔10分〕,,是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.
六、〔10分〕,,,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
七、〔15分〕满足, 且, 、〔10分〕求时, 与等价的无穷大量.
第二届全国大学生数学竞赛预赛试题
一、〔25分,每题5分〕
〔1〕设其中求〔2〕求。
〔3〕设,求。
〔4〕设函数有二阶连续导数,,求。
〔5〕求直线与直线的距离。
二、〔15分〕设函数在上具有二阶导数,并且且存在一点,使得,证明:方程在恰有两个实根。
三、〔15分〕设函数由参数方程所确定,其中具有二阶导数,曲线与在出相切,求函数。
四、〔15分〕设证明:〔1〕当时,级数收敛; 〔2〕当且时,级数发散。
五、〔15分〕设是过原点、方向为,〔其中的直线,均匀椭球,其中〔密度为1〕绕旋转。〔1〕求其转动惯量;〔2〕求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。
六、(15分)设函数具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上,曲线积分的值为常数。〔1〕设为正向闭曲线证明〔2〕求函数;〔3〕设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求。
第三届全国大学生数学竞赛预赛试题
计算以下各题〔共3小题,每题各5分,共15分〕
〔1〕.求; 〔2〕.求;
〔3〕,求。
二.〔10分〕求方程的通解。
三.〔15分〕设函数f(x)在x=0的某邻域具有二阶连续导数,且均不为0,证明:存在唯一一组实数
,使得。
四.〔17分〕设,其中,,为与的交线,求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。
五.〔16分〕S是空间曲线绕y轴旋转形成的椭球面的上半局部〔〕取上侧,是S在点处的切平面,是原点到切平面的距离,表示S的正法向的方向余弦。计算:〔1〕;〔2〕
六.〔12分〕设f(x)是在的可微函数,且,其中,任取实数,定义证明:绝对收敛。
七.〔15分〕是否存在区间上的连续可微函数f(x),满足,
?请说明理由。
第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷
每题6分共30分
; ;
,是其中一个平面过点〔〕;
,且,确定常数和,使函数满足方程;
,,且在右半平面上与路径无关,求;
二.〔10分〕计算;
三.〔10分〕求方程的近似解,准确到;
四.〔12分〕设函数二阶可导,且,求,其中是曲线上点处切线在轴上的截距;
五.〔12分〕求最小实数,使得对满足的连续的函数,都有;
六.〔12分〕设为连续函数,,区域是由抛物面和球面所围起来的上半局部,定义三重积分,求;
七.〔1