文档介绍：椭圆的解题方法和技巧
椭圆的解题方法和技巧
安徽省宿州市褚兰中学 海平
一、椭圆的定义的应用
椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的,因此在解题中凡涉及曲线上的点
到焦点的距离时,应先想到用定义求解,常会有事半功倍之效。 例 1
的三边、、成等差数列且满足
、
。求顶点的轨迹。
,、两点
的坐标分别是
分析:数列与解析几何相联系,往往构成综合性较大的题目,历来是高考考查的热点之一。
解析:∵、、成等差数列,∴ 又
,∴
。
。
,即
,
根据椭圆的定义,易得点的轨迹方程为 又∵∴
,∴
,即,∴
, 。
(
故点的轨迹是椭圆的一半,方程为)。又当
。
时,
点、、在同一条直线上,不能构成三角形,∴ ∴点的轨迹方程为
。
评注:该例是先由条件找到动点所满足的几何关系,寻找出满足椭圆定义的条件,然后确定椭圆的方程。解题时,易忽略因此易漏掉
这一条件,
这一限制;由于、、三点构成三角形,故应剔
。
除使、、共线的点
例 2 、椭圆断的形状。
上一点到两焦点
、的距离之差为 2,试判
分析:由椭圆定义知,件,故可求出解析:由又∴,故满足为直角三角形。
的两边。
的和为定值,且二者之差为题设条
,解得。
。
评注:由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形,称作焦点三角形。利用焦点三角形能
有意识地考查定义、三角形正(余)弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。
例 3、已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点
P1,P2, 求椭圆的方程.
【解析】设椭圆方程为 mx2+ny2=1( m>0,n >0 且 m≠n). ∵椭圆经过 P1,P2 点,
P1, P2 点坐标适合椭圆方程, 则① 6m+n=1,② 3m+2n=1,①②两式联立,解得m= x2y2
∴所求椭圆方程为+=1
93
11
, n= . 93
评注:运用待定系数法求椭圆标准方程 , 即设法建立关于 a, b 的方程组,先定型、再
定量,若位置不确定时,考虑是否两解,有时为了解题需要,椭圆方程可设为 mx2+ny2=1
(m> 0,n >0,m≠n),由题目所给条件求出 m,n 即可.
三、利用向量解决椭圆问题
几何中突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点,向量本身具有“数”与“形”的双重身份,常把向量的代数式转化为坐标表示或利用其几何关系求解.
例 4、最值问题
y2
设椭圆方程为 x+=1,过点 M(0,1) 的直线 l 交椭圆于 A、 B 两点, O是坐标原点,
4
11
点 P 满足 OP=(OA+OB),点 N 的坐标为() .当 l 绕点 M旋转时,
222
求: P 的轨迹方程; (1) 动点
(2)|NP| 的最大值与最小值.
2
解析: (1) 直线 l 过点 M(0,1) ,
当斜率存在时,设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1. 记 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) ,
? y=kx+1 ?
由? 2y2,得(4+k2)x2+2kx-3=0 ,
=1 ? x+
? 4
x+x=- ? ? 124+k2
所以? .
? y+y=812? 4+k2?
1