文档介绍：复数的三角形式与指数形式
在中学，我们已经学习过复数及其用代数形式a+bi表达的四则运算法则及算律。量子力学中波函数普遍来说是复数形式的，而上述实部加虚部的形式在很多情况下不方便使用，因此我们有必要对复数了解得更多些。本讲讲三个问题
2021/8/25
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、复数的三角形式
一、复数的幅角与模
我们知道复数a+bi对应着复平面上的点(a, b)，也对应复平面上一个向量（如右图所示）
这个向量的长度叫做复数a+bi的模，记为|a+bi|，一般情况下，复数的模用字母r表示。
x
y
同时，这个向量针对x轴的正方向有一个方向角，我们称为幅角，记为arg(a+bi)，幅角一般情形下用希腊字母θ表示。
显然
把它们代入复数的代数形式得：
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、复数的三角形式
这样，我们把 叫做复数a+bi的三角形式
二、复数三角形式的运算法则
引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。
所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运算法则。
1、复数的乘法
设
那么
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、复数的三角形式
二、复数三角形式的运算法则
1、复数的乘法
这说明，两个复数相乘等于它们的模相乘而幅角相加
即
这个运算在几何上可以用下面的方法进行：
将向量z1的模扩大为原来的r2倍，然后再将它绕原点逆时针旋转角θ2，就得到z1z2。
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、复数的三角形式
二、复数三角形式的运算法则
2、复数的除法
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、复数的三角形式
二、复数三角形式的运算法则
2、复数的除法
即
这说明，两个复数相除等于它们的模相除而幅角相减
这个运算在几何上可以用下面的方法进行：
将向量z1的模缩小为原来的r2分之一，然后再将它绕原点顺时针旋转角θ2，就得到z1÷z2。
3、复数的乘方。
利用复数的乘法不难得到
这说明，复数的n次方等于它模的n次方，幅角的n倍。
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4、复数的开方
对于复数 ，根据代数基本定理及其推论知，任何一个复数在复数范围内都有n个不同的n次方根。
将向量z1的模变为原来的n次方，然后再将它绕原点逆时针旋转角nθ，就得到zn。
、复数的三角形式
二、复数三角形式的运算法则
3、复数的乘方。
这个运算在几何上可以用下面的方法进行：
设 的一个n次方根为
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4、复数的开方
、复数的三角形式
二、复数三角形式的运算法则
那么
所以
即
显然，当k从0依次取到n－1,所得到的角的终边互不相同，但k从n开始取值后，前面的终边又周期性出现。
因此，复数z的n个n次方根为
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4、复数的开方
、复数的三角形式
二、复数三角形式的运算法则
从求根公式可以看出，相邻两个根之间幅角相差
所以复数z的n个n次方根均匀地分布在以原点为圆心，以它的模的n次算术根为半径的圆周上。
因此，求一个复数z的全部n次方根，可以用下面的几何手段进行：
先作出圆心在原点，半径为 的圆，然后作出角 的终边
以这条终边与圆的交点为分点，将圆周n等分，那么，每个等分点对应的复数就是复数z的n次方根。
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、复数的指数形式
在对复数三角形式的乘法规则讨论中，我们发现，复数的三角形式将复数的乘法“部分地”转变成加法（模相乘，幅角相加）
这种改变运算等级的现象在初等函数中有过体现：
对数函数与指数函数
前者将两个同底幂的乘积变成同底的指数相加；后者将两个真数积的对数变成两个同底对数的和。
从形式上看，复数的乘法与指数函数的关系更为密切些：
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