文档介绍：3-2能控性及其判据(pàn jù)
一：能控性概念(gàiniàn)
线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态(zhuàngtài)x(t0)，如果在t1> t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t1)=0，则称系统是状态(zhuàngtài)完全能控的，简称系统是能控的。
可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。
定义：
例如
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定义(dìngyì)：设线性时变系统状态方程为
对任意给定(ɡěi dìnɡ)的一个初始状态x(t0)，如果在t1> t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t0，t1)，使x(t1)=0，则称系统在t0时刻是状态完全能控的，简称系统是能控的。
3-2能控性及其判据(pàn jù)
一：能控性概念
线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在t1> t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。
定义：
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证明(zhèngmíng)
充分性
为非奇异(qíyì)时，系统能控
说明(shuōmíng)系统是能控的
二：能控性判据
定理一：线性时变系统 在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵
为非奇异矩阵，式中
为状态转移矩阵
1 线性时变系统
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必要性
反证法，若
是奇异(qíyì)的，且系统能控，看能否导出矛盾结果。
由于(yóuyú)
是奇异(qíyì)的，故必存在非零的行向量α，使
二：能控性判据
定理一：线性时变系统 在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵
为非奇异矩阵，式中
为状态转移矩阵
1 线性时变系统
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二：能控性判据(pàn jù)
定理一：线性时变(shí biàn)系统 在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵
为非奇异(qíyì)矩阵，式中
为状态转移矩阵
必要性
由于系统能控
取系统初始状态
1 线性时变系统
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定理二：线性时变系统在t0时刻是状态完全(wánquán)能控的充分必要条件是
的行向量在[t0,t1]上线性无关(wúguān)
证明(zhèngmíng):
充分性
的行向量在[t0,t1]上线性无关→系统能控
或系统不能控 → 的行向量在[t0,t1]上线性相关
由于系统不能控
是奇异的，故必存在非零的行向量α，使
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定理二：线性时变系统在t0时刻是状态(zhuàngtài)完全能控的充分必要条件是
的行向量在[t0,t1]上线性无关(wúguān)
证明(zhèngmíng):
必要性
的行向量在[t0,t1]上线性相关→系统不能控
系统能控 → 的行向量在[t0,t1]上线性无关
由于
的行向量线性相关，故必存在非零的行向量α，使
或
是奇异的，故系统不能控
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定理(dìnglǐ)三：如果线性时变系统的A(t)和B(t)是n-1阶连续可微的，若存在一个有限的t1>t0，使得
则系统(xìtǒng)在t0是能控的。其中
本定理(dìnglǐ)是充分条件
证明:
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由于(yóuyú)
故
下面(xià mian)求证
→系统(xìtǒng)能控
或系统不能控→
由于系统不能控,存在非零的行向量α，使
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由于(yóuyú)
故
下面(xià mian)求证
→系统(xìtǒng)能控
或系统不能控→
由于系统不能控,存在非零的行向量α，使
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