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第六章 定积分的应用
A）
1、求由下列各曲线所围成的图形的面积
1）y
1x2与x2
y2
8
（两部分都要计算）
2
2）y
1
x及x2
与直线y
x
3）y ex，y ex与直线x 1
4） 2acos
5）x acos3t，y asin3t
１、求由摆线 x at sint，y a1 cost的一拱 0 t 2 与横轴所围成的图形的
面积
２、求对数螺线 ae 及射线 所围成的图形的面积
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３、求由曲线 y sinx和它在x 处的切线以及直线 x 所围成的图形的面积和它绕
2
轴旋转而成的旋转体的体积
４、由y
x3
，x
2，y
0所围成的图形，分别绕
x轴及y轴旋转，计算所得两旋转体
的体积
５、计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积
６、计算曲线 y 33x上对应于1x3的一段弧的长度
3
７、计算星形线 x acos3t，y asin3t的全长
８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力 F（单位：N）与伸长量S（单位：cm）
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成正比，即： F kS（k是比例常数），如果把弹簧原长拉伸 6cm，计算所作的功
９、一物体按规律 x ct3作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比， 计算物体由 x 0
移到x a时，克服介质阻力所作的功
１０、 设一锥形储水池，深 15m，口径20m，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？
１１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长 10cm和6cm，高为 20cm，较长的底边与
水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力
１２、 设有一长度为 ，线密度为 u的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为 a单位处
有一质量为 m的质点M，试求这细棒对质点 M的引力
(B)
1、设由抛物线y2
2pxp0与直线x
y
3
p所围成的平面图形为D
2
1）求D的面积S;2）将D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积
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2、求由抛物线y
x2及y2
x所围成图形的面积，并求该图形绕
x轴旋转所成旋转体的体
积
3、求由y sinx，y cosx，x 0，x 所围成的图形的面积，并求该图形绕 x轴旋
2
转所成旋转体的体积
4、求抛物线 y22px及其在点p,p处的法线所围成的图形的面积
2
5、求曲线y
x2
2x4在点M
0,4处的切线
MT与曲线y2
2x1所围成图形的面
积
6、求由抛物线 y2 4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值
7、求由下列曲线所围成图形的公共部分的面积
1） 3cos ， 1 cos
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2） asin ， acos sin ，a 0
8、由曲线 x2 y 52 16所围成图形绕 x轴旋转所成旋转体的体积
9、求圆心在 0,b半径为a，b a 0的圆，绕x轴旋转而成的环状体的体积
10、计算半立方抛物线y2
2
x13
被抛物线y2
x截得的一段弧的长度
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(C)
1、用积分方法证明半径为 R的球的高为 H的球缺的的体积为
V H2R H
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2、分别讨论函数 y sinx 0 x 在取何值时，阴影部分的面积 S1，S2的和
2
S1S2取最大值和最小值
3、求曲线 y x 0 x 4上的一条切线，使此切线与直线