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课时作业 15 均值不等式
时间： 45 分钟 满分： 100 分
课堂训练
5
3
xy
的最小值是 ()
1．已知 ＋ ＝1( >0 ， >0) ，则
x
y
xy
A．15
B．6
C．60
D．1
【答案】
C
5
3
15
【解析】
∵x＋ y＝1≥2
xy，
xy≥60，
当且仅当 3x＝5y 时取等号．
2．函数
4
＋3 在(－∞，－ 2]上()
()＝＋
f x x
x
A．无最大值，有最小值 7
B．无最大值，有最小值－ 1
C．有最大值 7，有最小值－ 1
D．有最大值－ 1，无最小值
【答案】 D
4
【解析】 ∵x≤－2，∴ f(x)＝x＋ x＋3
＝－ － x ＋ －
4
＋3≤－2
－x －
4
＋3
x
x
4
＝－ 1，当且仅当－ x＝－ x，即 x＝－ 2 时，取等号，
.
.
∴ ( )有最大值－ 1，无最小值．
f x
3．已知两个正实数 ，
满足 ＋ ＝4，则使不等式
1
＋
4
≥m 恒
x y
x y
x
y
成立的实数 m 的取值范围是
．
【答案】
－ ∞，
9
4
【解析】
4．求函数
1 4
x＋y 1 4 5 y x 5
1 9
x＋y＝
4 x＋y ＝4＋4x＋y≥4＋2
4＝4.
x2＋7x＋10
y＝ (x> －1)的最小值．
x＋1
【分析】 对于本题中的函数，可把 x＋1 看成一个整体，然后
将函数用 x＋1 来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的
形式特点，从而能用均值定理来处理．
【解析】 因为 x> －1，
所以 ＋1>0.
x
2＋7 ＋10
x＋1
2＋5 ＋1 ＋4
x
x
＝
x
所以 y＝
x＋1
x＋1
4
4
＝ (x＋1)＋ ＋1＋ 5≥2
x＋1 ·＋1＋5＝9
x
x
4
当且仅当 x＋1＝x＋1，即 x＝1 时，等号成立．
x2＋7x＋10
∴当 x＝1 时，函数 y＝ (x> －1)，取得最小值为 9.
x＋1
ax2＋bx＋c
【规律方法】 形如 f(x)＝ mx＋n (m≠0，a≠0)或者 g(x)＝
m