文档介绍：1
向量之间关于这两个运算的关系, 即所谓的线性关系则是线性代数所要研究的核心内容. 利用这些理论去解释线性方程组求解过程, 将会发现对线性方程组的系数矩阵施行初等行变换并将其化为行阶梯型时, 这些阶梯型矩阵中其元素不全为零的行的数目其实是该矩阵行向量间和列向量间所共有的一个十分(shífēn)重要的数字特征, 从而我们能够更深入地了解线性方程组解的结构.
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§ 向量空间和子空间的定义
§ 线性组合与线性表出
§ 线性相关与线性无关
§ 向量空间的基和维数
§ 极大无关组和向量组的秩
§ 矩阵的秩
§ 线性方程组解的结构
§ 基变换(biànhuàn)和坐标变换(biànhuàn)*
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§ 定义(dìngyì)及性质
一、 向量(xiàngliàng)空间的定义
如上定义的n维向量也称为n维行向量. n维向量也可以(kěyǐ)用列的形式写出, 称为列向量:
任意n个(实)数a1, a2,…, an 构成的如下的n元有序组
(a1, a2,…, an)
称为n维(实)向量, 每一ai称为此向量的第i个分量.
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其中，b1, b2,…, bn 为任意（实）数. 如无特别申明(shēnmíng)，n维向量均为实向量.
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通常, 记为R所有实数的集合, 并记Rn为所有n维行向量的集合或所有n维列向量的集合. 现考虑(kǎolǜ)为所有n维行向量的集合的情形（同理可讨论为所有n维列向量的集合的情形）.
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向量(xiàngliàng)的相等: 两个向量(xiàngliàng)=(a1, a2,…, an) 和
=(b1, b2,…, bn) 相等，当且仅当 ai= bi, i=1, 2, …, n, 并记为= .
零向量(xiàngliàng):分量全为零的向量(xiàngliàng)称为零向量(xiàngliàng)，记为
O=(0, 0, …, 0)
负向量:任一向量=(a1, a2,…, an)的各分量(fèn liàng)反号得到的向量称为 的负向量，记为
=(a1, a2,…, an)
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向量(xiàngliàng)的和:设=(a1, a2,…, an)， =(b1, b2,…, bn),
则与的和为
+ =(a1+ b1, a2+ b2 ,…, an+ bn)
数乘向量(xiàngliàng):设=(a1, a2,…, an )，k是任一实数，则数 k与向量(xiàngliàng)的积为
k =k(a1, a2,…, an) =(ka1, ka2,…, kan)
向量(xiàngliàng)的差:设=(a1, a2,…, an)， =(b1, b2,…, bn),
则与的差为
=(a1 b1, a2 b2 ,…, an bn)
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显然, 关于向量的加法和数乘, 定理(dìnglǐ)中运算律成立. 我们现在定义：
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所有n维实向量的集合Rn中定义了如上的向量加法和数乘向量两种运算, (并满足如下(rúxià)的8条运算律)称为n维实向量空间.
1． + = + （加法交换律）
2． +(+)=(+)+ （加法结合律）
3． +O= 4． +(-)=O
5． 1= 6． k(l)=(kl)
7.     k( + )=k+k      
8. (k+l)= k+l
其中(qízhōng), , , 是任意向量, k, l是任意的实数.
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特别(tèbié)地我们有：设, 是Rn中任意两个向量，则
(i)    0 =O，kO=O；k为任意实数；
(ii)   如k=O，那么