文档介绍：复变函数积分—小结 1. 复变函数积分的概念: k nk k n czf dzzf???????)( lim )( 1?连续, 沿光滑曲线被积函数 C yx ivyxuzf),(),()(??积分存在的条件: 2. 复变函数积分的计算?????? c c dy yxu dx yxvi dy yxv dx yxu),(),(),(),(? C)(zfdz?? C )],(),([yx ivyxu?][ idy dx?(很少使用,多用作理论推导) ????))((tzf dttz)('(”万能公式”,只要 C 的复数方程可以写出) 特殊情形, )内处处解析在复平面(或单连通域若)(zf?? dzzf zz 10)()( 1zG )( 0zG??? dzzf C)( 原函数为的起点,终点; 分别为)()( ,zfzG Czz 10分部积分公式仍成立? C dzzf)( 若积分曲线 C 为闭曲线解析的情况首先,判定被积函数)(zf则所围成的区域内解析, 在积分闭曲线若被积函数 C zf)()(10?? C dzzf)( 个奇点, 所围成的区域内只有一在积分闭曲线若被积函数 C zf)()(2 为零的点。且该奇点是使分母 0zz? 0zz zgzf??)()(若)( )()( 0 02zgi dzzz zg dzzf C C???????: ,..., , )()( nzzz D C zf 213 包含多个奇点内围成的区域在积分闭曲线若被积函数的条件一起满足复合闭路定理使它们与, 的闭曲线条分别包含奇点 Czzzn n n, ,..., ,..., , 21 21? C dzzf)(??? nk C kdzzf 1)(= 接下来,一般可按照情形( 2)利用柯西积分公式进行计算问题: 若柯西积分公式不能利用的话, ????? 第五章,将给出一个计算积分简单实用的“万能公式” 3. 解析函数的性质 1. 在(多)连通域内解析的函数沿(多)连通域的边界积分值为 0。 0??? dzzf)(???? dz fi zf C???)()(2 1 4. 解析函数的任意阶的导数都是存在的,且都是解析函数. 2. 区域内的解析函数,只要边界上的函数值给定,则区域内任意点的函数值也就完全确定;且其模在边界处取得极值)(zf )(zf 例1: dz z z z c??? 2 31 2 1)( cos2 1?zC 为正向圆周解: 域内解析, 在积分曲线所围成的区被积函数 2 31 2 1)( cos ??z z z01 2 1 2 3???? dz z z z c)( cos 的复数方程 2 1?zC:????202 1??? iez)(???? dz z z z c 2 31 2 1)( cos??????d ie e e e ii i i2 112 1 22 1 12 1 20 2 3??????????????? cos????? dzz c??? 21 sin 例2: 负向 1 1?zc: 正向 3 2?zc: 解: dzz c??? 21 sin dzz z c?? 1 sin dzz z c?? 2 sin dzz z c? 1 sin 对于为零的点) 分母个奇点, 所围成的区域内恰有一在积分曲线 00 1??zz C z z( sin 为负向的圆周注意: 1C?? 02 0 1?????? z czi dzz z sin sin? dzz z c? 2 sin 对于为零的点) 分母个奇点, 所围成的区域内恰有一在积分曲线 00 1??zz C z z( sin?? 02 0 2????? z czi dzz z sin sin?所以, 0 21???? dzz c sin dz zz z c??? 2)1 )(1(例3: 2 1 1?zC 为正向圆周)(011 2???? dz zz z c) )(( 域内解析在积分曲线所围成的区被积函数 211) )((??zz z解: dz zz z c??? 2)1 )(1( 2 112??zC 为正向圆周)( dz zz z c??? 211) )(( 解: 1 11 2???z zz z 域内只有一个奇点在积分曲线所围成的区被积函数) )((1 111 2 2????????????? z z zzz z )() )(( 为零的点分母 1?z dz z z z c????????????1 1 2)( 1 21 2 ???????????? zz zi)( ?2 i??