文档介绍：第一章基本概念§ 集合 1. 设集合 A={a,b,c,d},B={c,d,e},求A∪B,A∩B, A―B,(A―B)∪(B-A)。解:A∪B={a,b,c,d,e},A∩B={c,d}, A―B={a,b},(A―B)∪(B-A)={a,b,e}。 2 .设集合 A= {1,2,3, 4} ,试分别写出 A×A与2 A 中所含的所有元素。解:A×A= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} , 2 A={φ, {1} , {2} , {3} , {4} , {1,2} , {1,3} , {1,4} , {2,3} , {2,4} , {3,4} , {1,2,3} , {1,2,4} , {1,3,4} , {2,3,4} , {1,2,3,4}} 。 3 .设 A,B 为有限集,且|A|=m,|B|=n ,证明: |A×B| = mn 。证明:由于积集合 A×B 中的元素为: (x,y) ,其中 x∈A,y∈B。因为 A 中有 m 个不同的元素, B 中有 n 个不同的元素,即 x 共有 m 种不同的取法,y有n 种不同的取法, 根据乘法原理可得积集合 A×B 中共有 mn 个不同的元素。 4 .设 A 是有限集,证明: |2 A|=2 |A|。证明:设 A 中共有 n 个元素,即 A={a 1,a 2,…,a n},B是A 的任意一个子集,那么 B 中的元素必取自 a 1,a 2,…,a n 的其中某些,一种不同的取法就得到一个不同的子集。而在每一个子集中, 元素 a i(i=1,2,…,n) 只有出现和不出现两种情况。根据乘法原理可知共有子集?????? 2222 个 n???=2 n=2 |A|。 5 .具体证明集合的运算性质。解:证明略。§ 映射 ={ 所有大于零的实数},D=R, 找一个 A到D 的一一映射。解: 满足条件的一一映射很多, 我们只需给出其中的一个即可。 fh=I B。证明: (1) 先证充分性。由 gf=I A得gf 是单射。如果 f 不是单射,则存在 a,b∈A ,且 a≠b,f(a)=f(b) ,从而有(gf )(a)=g(f(a ))=g(f(b ))=(gf )(b), 与gf 为单射矛盾。再证必要性。设 f 是单射,我们通过映射 f 来作 B到A 的映射 g:B→A ,任意 b∈B, b??????,, Im ,)(, Im 00中的某一固定元素为时当且时当Aafba baffba?由于 f 是单射,则容易证明以上所定义的映射 g 是合理的,且满足 gf=I A; (2) 先证充分性。由 fh=I B得fh 是满射。如果 f 不是满射, 则存在 b∈B ,且 b 在映射 f 下没有原象,即 b? Im f 。由于 Im (fh)? Im f, 得b? Im (fh) ,与 fh 为满射矛盾。再证必要性。设 f 是满射,我们通过映射 f 来作 B到A 的映射 h:B→A。因为任意 b∈B, 在映射 f 下总存在原象,当b 的原象不是唯一时,我们只取其中固定的某一个 a b ,那么,定义: h:B→A,b? a b。容易证明以上所定义的映射 h 满足题目要求。§ 代数运算与运算律 ={a,b,c} ,给出 A 的两个不同的代数运算。解:集合 A 中含有 3 个元素,而 3 个元素的集体上共可定义 3 3 ×3 个不同的代数运算, 我们很容易得到其中的两个不同的代数运算。如: xο 1y=y,xο 2y=a。 *={x|x∈R,x≠ 0}, “ο”是普通除法,这个代数运算是否适合结合律、交换律? 解:因为 1,2,3∈R* ,而(1÷ 2)÷3=2 1 ÷3=6 1 ,1÷ (2÷ 3)=1÷3 2 =2 3 , 得(1÷ 2)÷3≠1÷ (2÷ 3), 且1÷2≠2÷1, 所以, R* 关于普通的除法运算既不满足结合律,也不满足交换律。 ={a,b,c} ,由表 ab 给出的代数运算是否适合结合律? 1ia ο2ia ο…ο kia =?? 1ia ο2ia ο…? 1?sia ο? 1a ο? 1?sia ο…ο? kia =a 1ο? 2ia ο… 1?sia ο1?sia ο…ο? kia =a 1οa 2ο…οa k。定理 3 的证明也同样可用归纳法。具体的证明略。§ 等价关系与集合分类 1 .下列集合 A 上的关系是不是等价关系?为什么? (1) 设S= {1,2, 3},A=2 S ,给出关系 R: xRy