文档介绍：第六节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的: 使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点:二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程: 一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程?方程 y ??? py?? qy?0 称为二阶常系数齐次线性微分方程?其中 p、q 均为常数?如果 y 1、y 2 是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解?那么 y?C 1y 1?C 2y 2 就是它的通解?我们看看?能否适当选取r?使y?e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程?为此将y?e rx 代入方程 y ??? py?? qy?0得(r 2? pr?q)e rx?0?由此可见?只要 r 满足代数方程 r 2? pr?q?0?函数 y?e rx 就是微分方程的解?特征方程?方程 r 2? pr?q?0 叫做微分方程 y ??? py?? qy?0 的特征方程?特征方程的两个根 r 1、r 2 可用公式 2 4 22,1qppr ?????求出?特征方程的根与通解的关系?(1) 特征方程有两个不相等的实根 r 1、r 2时?函数 xrey 11?、xrey 22?是方程的两个线性无关的解?这是因为?函数 xrey 11?、xrey 22?是方程的解?又xrrxr xree ey y )(2 1 212 1???不是常数?因此方程的通解为 xrxreCeCy 2121???(2) 特征方程有两个相等的实根 r 1?r 2时?函数 xrey 11?、xr xey 12?是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解?这是因为?xrey 11?是方程的解?又xrxrxrxrxrxr qxe e xrpe xrr xeq xep xe 111111)1()2()()()( 1 211??????????0)()2( 1 211 11??????qprr xepre xrxr ?所以 xr xey 12?也是方程的解?且xe xey y xr xr?? 1 11 2 不是常数?因此方程的通解为 xrxr xeCeCy 1121???(3) 特征方程有一对共轭复根 r 1,2???i?时?函数 y?e ( ??i ?)x、y?e ( ??i ?)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解?函数 y?e ?x cos ?x、y?e ?x sin ?x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解?函数 y 1?e ( ??i ?)x和y 2?e ( ??i ?)x 都是方程的解而由欧拉公式得 y 1?e ( ??i ?)x?e x (cos x?i sin x)y 2?e ( ??i ?)x?e x (cos x?i sin x)y 1?y 2?2e x cos x)(2 1 cos 21yyxe x???? y 1?y 2?2 ie x sin x)(2 1 sin 21yyi xe x????故e ?x cos ?x、y 2?e ?x sin ?x 也是方程解?可以验证?y 1?e ?x cos ?x、y 2?e ?x sin ?x 是方程的线性无关解?因此方程的通解为 y?e ?x(C 1 cos ?x?C 2 sin ?x)?求二阶常系数齐次线性微分方程 y ??? py?? qy?0 的通解的步骤为?第一步写出微分