文档介绍：D62几何应用08
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
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边梯形面积为 A ,
右下图所示图形面积为
例1. 计算两条抛物线
在第一象限所围
图形的面积 .
解:
得交点
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为了求出面积, 一般先划出两条曲线所围成的图
,求交点的坐标。
由
y
x
o
y=ƒ(x)
a
b
y=g(x)
x
x+dx
1. 若平面图形 D 由两条曲线 y = ƒ(x)和 y = g(x) ( ƒ(x)≥g(x) )和两条直线 x = a与 x = b 所围成图形的
面积为
则以 dx 为底, ƒ(x) – g(x)为高的小矩形面积微元是
因为对任意的x∈[a , b], 作垂直于
x 轴的直线穿图形 D, 是从下方曲线
y = g(x) 进, 从上方曲线 y = ƒ(x) 出;
dS = [ƒ(x) – g(x)]dx
一般地由曲线所围成的平面图形的面积计算可分为：
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2. 若平面图形 D由两条曲线 x =ψ(y) 及x =φ(y), (φ(y)≥ψ(y) )和两条直线y = c 与 y = d 所围成图形
的面积为
φ(y) –ψ(y)为高的小矩形面积微元是
o
x=φ(y)
c
d
y+dy
y
x=ψ(y)
x
y
因为对任意的 y∈[c, d], 作垂直于
y 轴的直线穿区域D, 是从曲线x =ψ(y)
进, 是从曲线x=ψ(y)进, 则以dy为底,
dS = [φ(y)–ψ(y)] dy
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(2) 写出面积微元dS;
求平面图形面积的步骤:
(1) 选取积分变量 x (过点 x 作垂直于 x 轴的直线穿区域D, 是一进一出)或积分变量 y (过点 y 作垂直于y 轴的直线穿区域 D, 是一进一出)及积分区间.
(3) 作定积分
注：在选择积分变量时, 还要考虑图形特征, 以方法简便或不划分区间来计算.
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例2. 计算抛物线
与直线
的面积 .
解: 由
得交点
所围图形
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
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思考: 若选 x 为积分变量, 应该如何做 ？
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例3. 设曲线 x 轴与 y 轴在第一象限所围的图形被曲线 分为面积相等的两部分, 试确定a 的值.
解：如图,
而
得交点坐标
解方程组
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由题意, 先求出切线方程, 再求面积.
解：首先作图.
y
x
o
A
D
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