D96几何中的应用.ppt

文档介绍：D96几何中的应用
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一、一元向量值函数及其导数
引例: 已知空间曲线  的参数方程:
 的向量方程
对 上的动点M ,
即 是
此方程确定映射
,称此映射为一元向量
的终点M
的轨迹 ,
此轨迹称为向量值函数的终端曲线 .
值函数.
要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向
量值函数的极限、连续和导数的概念.
定义: 给定数集 D  R , 称映射
为一元向量
值函数（简称向量值函数）, 记为
定义域
自变量
因变量
向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、
连续和导数密切相关,
进行讨论.
极限：
连续：
导数：
严格定义见P90
因此下面仅以 n = 3 的情形为代表
向量值函数的导数运算法则: (P91)
设
是可导向量值函数,
是可导函数, 则
C 是常向量,
c 是任一常数,
向量值函数导数的几何意义:
在 R3中, 设
的终端曲线为 ,
切线的生成
点击图中任意点动画开始或暂停
表示终端曲线在t0处的
切向量,
其指向与t 的增长方
向一致.
, 则
设
向量值函数导数的物理意义:
设
表示质点沿光滑曲线运动的位置向量, 则有
例1. 设
速度向量：
加速度向量：
解：
例2. 设空间曲线 的向量方程为
求曲线 上对应于
解:
的点处的单位切向量.
故所求单位切向量为
其方向与 t 的增长方向一致
另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为
= 6
例3. 一人悬挂在滑翔机上, 受快速上升气流影响作螺
求
旋式上升, 其位置向量为
(1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量;
(2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率;
(3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻.
解: (1)
(3) 由
即
即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.
二、空间曲线的切线与法平面
过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
置.
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位
给定光滑曲线
 在
点法式可建立曲线的法平面方程
利用
点M (x, y, z) 处的切向量及法平面的
法向量均为
点向式可建立曲线的切线方程
1. 曲线方程为参数方程的情况
因此曲线  在点 M 处的
则 在点M 的导向量为
法平面方程
给定光滑曲线
为0,
切线方程