文档介绍：滨州学院数学与信息科学系第十章曲线积分与曲面积分高等数学教案
第十章曲线积分与曲面积分
第一节对弧长的曲线积分教学目的：了解对弧长曲线积分的概念和性质，理解和掌握对弧长曲线积分的计
算法和应用.
教学重点：弧长曲线积分的计算.
教学难点：弧长曲线积分的计算.
教学内容：
一、对弧长曲线积分的概念与性质
引例曲线形构件质量
设一构件占面内一段曲线弧，端点为，线密度连续, 求构件质量,(x,y)A,BxoyL
y． MB
解（1）将,s，，i,1,2,？？,n分割； Li
A（2）,,s,M,,(x,y),,s,(x,y)，； xiiiiiiio
n
（3），，M,,x,y,s；图10-1-1 ,iii,1i
n
（4）,,max{,s,,s,？,,s}Mxys,,lim(,),， iii12n,,,0i,1
１．对弧长曲线积分的定义
定义 nMf(x,y)为面内的一条光滑曲线弧，在上有界，用将分成小段xoyLLLi
n(,,,),,S,Sf(,,,),Sin,1,2,3...,，任取一点，作和，令，，,iiiiiiii,1
n,,max{,s,,s,？,,s}lim(,)fS,,,,,0，当时，存在，称此极限值为iii12n,,,0i,1f(x,y)在上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）记为 L
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n
lim(,)fS,,,f(x,y)ds,iii,,,,0i,1L
注意：（1）若曲线封闭，积分号． f(x,y)ds,
（2）若连续，则存在，其结果为一常数. f(x,y)f(x,y)ds,L
（3）几何意义，则（为弧长）． fxy(,)1,fxydsL(,),L,L
（4）物理意义 M=． ,(x,y)ds,L
n（5）此定义可推广到空间曲线lim(,,)fS,,,,=． f(x,z,y)dsiiii,,,,0i,1,
（6）将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上，重心：
,,,xdsydszds,,,LLL，，。 ,,,xyzMMM
2222转动惯量：，， I,y,(x,y)dsI,x,(x,y)dsI,(x，y),(x,y)dsxyo,,,LLL（7）若规定L的方向是由A指向B，由B指向A为负方向，但与的方向无f(x,y)dsL,L关．
２．对弧长曲线积分的性质
性质１设L,L，Lf(x,y)dsf(x,y)ds，则=+． f(x,y)ds12,,,LLL12
性质2 gxyds,=． [f(x,y),g(x,y])dsf(x,y)ds，，,,,,LLL
性质３ =． kkf(x,y)dsf(x,y)ds,,LL
二、对弧长曲线积分的计算
x,,(t),定理设f(x,y),,t,,,(t),,(t)在弧上有定义且连续，方程（）， LL,,y,(t),
22在,,,(t)，,(t),0[,,,]上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且f(x,y)ds,L
22,,=． f(x,y)dsf[,(t),,(t)],(t)，,(t)dt,,LL
说明：从定理可以看出
22(1) 计算时将参数式代入,,f(x,y)[,,,]，，在上计算定积分． ds,,(t)，,(t)dt
(2) 注意：下限,,S？,,t0,,,,一定要小于上限，（恒大于零，）. ii
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b2,f[x,,(x)]1，[,(x)]dx(3) ：, 时，=. y,,(x)a,x,bf(x,y)dsL,,aL
d2同理,f[,(y),y]1，[,(y)]dy：，时，= x,,(y)c,y,df(x,y)dsL,,cL
(4) 空间曲线：，，， x,,(t)y,,(t)z,,(t)P
,222,,,f[,(t),,(t),,(t)],(t)，,(t)，,(t)dt= f(x,y)ds,,,P
2例1 计算yx,～其中是抛物线上点与点之间的一段弧, ydsO(0,0)B(1,1)L,L
2解曲线的方程为yxx,,,(01)～因此
1112222,,，ydsx1(x)dx,x1，4xdx, ,(55,1),,,00L12
例2 计算半径为、中心角为的圆弧对于它的对称轴的转动惯量(设线密度为2,RLI
), ,,1
2解取坐标系如图所示～则I,yds, 曲线的参数方程为 L,L
xRyR,,,,,cos,sin(),,,,,
,22222于是 ,Rsin,(,Rsin,)，(Rcos,)d,I,yds ,,,,L
,323 ,,,RdR