文档介绍：会计学
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点到直线的距离(jùlí)公式
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若M(x0y0)是平面上一定(yīdìng)点,它到直线l:Ax+By+C=0的距离d为
试用(shìyòng)向量方法给出简单的证明
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证明 如图, M(x0,y0) 是直线外一定点,P(x,y)是直线上任意(rènyì)一点,由直线l:Ax+By+C=0,可以取它的方向向量v=(B,-A).
P(x,y)
M(x0y0)
n
l
O
x
y
设n=(A,B),因为(yīn wèi)
n·v=(A,B) · (B,-Aa)
=AB-BA=0
所以n⊥ v,故称n为直线(zhíxiàn)l的法向量.
与n同向的单位向量
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所以,点M(x0y0) 到直线l:Ax+By+C=0的距离等于向量 在n0方向(fāngxiàng)上射影的长度.
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又因为P(x,y)为l上任意(rènyì)一点,所以c=-(Ax+By)
故
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例1 求点P(1,2)到直线(zhíxiàn)l：2x+y+1=0的距离。
解 由点到直线的距离(jùlí)公式，得
所以(suǒyǐ)点P(1,2)到直线l的距离为
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分析(fēnxī)：
以A为原点建立(jiànlì)直角坐标系，应该有四个解.
例2 若向量 =(2,3), =(1,k), k∈ R，ΔABC为直角三角形，求k的值.
y
x
A
C
B
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y
x
A
C
B
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第八页，共12页。
分析：在所求直线上任取一点P,则 ∥a ,利用向量(xiàngliàng)平行的条件写出方程.
解:设点P(x,y)是所求直线上的任意(rènyì)一点,则 =(x+1,y-2).
例3 求过点A(-1,2),且平行于向量(xiàngliàng)a=(3,1)的直线方程.
∥a
所求直线的方程为
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解:设点Q(x,y)是所求直线(zhíxiàn)上的任意一点,则 =(x-1,y+1).
练习 求过点P(1,-1),且与向量n=(4,-3)垂直(chuízhí)的直线方程.
所求直线的方程为
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