文档介绍：第 1 页
教师
阎伟清
学生
上课时间
学科
高中数学
年级
教材版本
课题
平面向量
教学
重点
1、向量的综合应用。
2、用向量知识，实现几何及代数之间的等价转化
教学
难点
1、向量的综合应用。
2、用向量知识，实现几何及代数之间的等价转化
教学
过程
基本知识回顾：
：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.
：
①用有向线段表示-----(几何表示法)；
②用字母、等表示(字母表示法)；
③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：
分别取及轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的（直角）坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，，，。；若，，则，
、单位向量：
①长度为0的向量叫零向量，记为；
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：就是单位向量）
：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②、、平行，记作∥∥.共线向量及平行向量关系：平行向量就是共线向量.
性质：是唯一）
（其中 ）
：
①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
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②垂直向量——两向量的夹角为
性质：
（其中 ）
、减法：
①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
平行四边形法则：
（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）
三角形法则
——加法法则的推广： ……
即个向量……首尾相连成一个封闭图形，则有……
②向量的减法向量加上的相反向量，叫做及的差。即： -= + (-)；
差向量的意义： = , =, 则=-
③平面向量的坐标运算：若，，则，，。
④向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
⑤常用结论：
（1）若，则D是AB的中点
（2）或G是△ABC的重心，则
7．向量的模：
1、定义：向量的大小，记为 || 或 ||
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2、模的求法：
若 ，则 ||
若， 则 ||
3、性质：
（1）； （实数及向量的转化关系）
（2），反之不然
（3）三角不等式：
（4） （当且仅当共线时取“=”）
即当同向时 ，； 即当同反向时 ，
（5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，
即
8．实数及向量的积：实数λ及向量的积是一个向量，记作：λ
（1）|λ|=|λ|||；
（2）λ>0时λ及方向相同；λ<0时λ及方向相反；λ=0时λ=；
（3）运算定律 λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ
交换律：;
分配律：
()·=(·)=·();
——①不满足结合律：即
②向量没有除法运算。如：，都是错误的
（4）已知两个非零向量，它们的夹角为，则
=
坐标运算：，则
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（5）向量在轴上的投影为：
︱︱， （为的夹角，为的方向向量）
其投影的长为 （为的单位向量）
（6）的夹角和的关系：
（1）当时，同向；当时，反向
（2）为锐角时，则有； 为钝角时，则有
9．向量共线定理：
向量及非零向量共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ。
10．平面向量基本定理：
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2。
(1)不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量。
向量坐标及点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y1)
11. 向量和的数量积：
①·=| |·||cos，其中∈[0，π]为和的夹角。
②||cos称为在的方向上的投影。
③·的几何意义是：的长度||在的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。
④若 =（，）, =（x2，）, 则
⑤运算律：a· b=b·a, (λa)·