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2013年考研数学二真题及答案
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．设，当时， （ ）
（A）比高阶的无穷小 （B）比低阶的无穷小
（C）及同阶但不等价无穷小 （D）及等价无穷小
2．已知是由方程确定，则（ ）
（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2
３．设，则（ ）
（Ａ）为的跳跃间断点． （Ｂ）为的可去间断点．
（Ｃ）在连续但不可导． （Ｄ）在可导．
４．设函数，且反常积分收敛，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
５．设函数，其中可微，则（ ）
（A） （B）（C） （D）
6．设是圆域的第象限的部分，记，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则
（A）矩阵C的行向量组及矩阵A的行向量组等价．
（B）矩阵C的列向量组及矩阵A的列向量组等价．
（C）矩阵C的行向量组及矩阵B的行向量组等价．
（D）矩阵C的列向量组及矩阵B的列向量组等价．
8．矩阵及矩阵相似的充分必要条件是
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（A） （B），为任意常数
（C） （D），为任意常数
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9． ．
10．设函数，则的反函数在处的导数 ．
11．设封闭曲线L的极坐标方程为为参数，则L所围成的平面图形的面积为 ．
12．曲线上对应于处的法线方程为 ．
13．已知是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足方程的解为 ．
14．设是三阶非零矩阵，为其行列式，为元素的代数余子式，且满足，则= ．
三、解答题
15．（本题满分10分）
当时，及是等价无穷小，求常数．
16．（本题满分10分）
设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，求的值．
17．（本题满分10分）
设平面区域D是由曲线所围成，求．
18．（本题满分10分）
设奇函数在上具有二阶导数，且，证明：
（1）存在，使得；
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（2）存在，使得．
19．（本题满分10分）
求曲线上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．
20．（本题满分11）
设函数
⑴求的最小值；
⑵设数列满足，证明极限存在，并求此极限．
21．（本题满分11）
设曲线L的方程为．
（1）求L的弧长．
（2）设D是由曲线L，直线及轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标．
22．本题满分11分）
设，问当为何值时，存在矩阵C，使得，并求出所有矩阵C．
23（本题满分11分）
设二次型．记．
（1）证明二次型对应的矩阵为 ；
（2）若正交且为单位向量，证明在正交变换下的标准形为 ．
1.【详解】显然当时，故应该选（C）．
2. 【分析】本题考查的隐函数的