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圆锥曲线常见题型解法
【方法点评】求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量。
【变式演练1】 双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交于双曲线P，Q两点，假如，求双曲线方程。
题型二 圆锥曲线的几何性质解题方法 利用圆锥曲线的几何性质解答
例2 椭圆，A是椭圆长轴的一个端点，B是椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的一个焦点．假如AB⊥BF，如此该椭圆的离心率为( ).
解： 因为AB⊥BF，所以kAB·kBF＝－1，即·＝－1，即b2＝ac，所以a2－c2＝ac，两边同除以a2，得e2＋e－1＝0，所以e＝(舍负)，应当选B.
【小结】求值一般利用方程的思想解答，所以此题的关键就是找到关于的方程。
【练习】椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于A，B两点．假如恰好将线段AB三等分，如此( )
A．＝B．＝13 C．＝ D．＝2
题型三 圆锥曲线的最值问题解题方法一般利用数形结合和函数的方法解答
例3 +4(y-1)2=4，求：(1)+y2的最大值与最小值;(2)x+y的最大值与最小值．
〔2〕分析：显然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，如此将此代入+4(y-1)2=4中得关于y的一元二次方程，借助于判别式可求得最值．
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令x+y=u，如此有x=u-y,代入+4(y-1)2=4得：5-(2u+8)y+=0．
又∵0≤y≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×≥0．
∴
〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；
〔Ⅱ〕设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。
题型四
圆锥曲线的X围问题
解题方法
一般利用函数、根本不等式、数形结合等解答。
例4 椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量。〔1〕求椭圆的离心率e；〔2〕设Q是椭圆上任意一点，、分别是左、右焦点，求∠ 的取值X围；
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【方法点评】由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题.
【变式演练4】设、分别是椭圆的左、右焦点。
〔Ⅰ〕假如是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；
〔Ⅱ〕设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角〔其中为坐标原点〕，求直线的斜率的取值X围。
题型五
直线与圆锥曲线的关系问题
解题方法
一般利用判别式、韦达定理、弦长公式、点差法等解答。
例5双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。假如存在这样的直线，求出它的方程，假如不存在，说明理由。
故直线
由 消去，得
这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。
在一点E(,0)，使得是等边三角形，假如存在，求出；假如不存在，请说明理由。
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题型六
圆锥曲线与圆锥曲线的关系问题
解题方法
一般利用判别式和数形结合解答。
例6 曲线与有公共点,某某数a的取值X围．
可得：=2(1-a)y+-4=0．
∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0， ∴.
如图2－47，可知：
椭圆中心,半轴长,抛物线顶点为,所以当圆锥曲线在下方相切或相交时,.
综上所述,当时, 曲线与相交.
【变式演练6】设椭圆，抛物线。
假如经过的两个焦点，求的离心率；
设A〔0，b〕，,又M、N为与不在y轴上的两个交点，假如△AMN的垂心为，且△QMN的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。
题型七
圆锥曲线的定点和定值问题
解题方法
过定点的问题，一般先求曲线的方程，再证明曲线过定点；定值的问题，就是求值问题，直接求解就可以了。
在直角坐标系中，点M到点的距离之和是4，点M的
轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线与轨迹C交于不同的两点P和Q.
〔I〕求轨迹C的方程；
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〔II〕当时，求k与b的关系，并证明直线过定点.
解：〔1〕的距离之和是4，
的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，
其方程为…………3分
〔2〕将，