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数列求和的根本方法和技巧
一、总论：数列求和7种方法：
利用等差、等比数列求和公式
错位相减法求和
反序相加法求和
分组相加法求和
裂项消去法求和
分段求和法〔合并法求和〕
利用数列通项法求和
二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，
三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个根本方法。
一、利用常用求和公式求和
利用如下常用求和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法.
等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
4、
[例1]，求的前n项和.
解：由
由等比数列求和公式得 〔利用常用公式〕
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＝＝＝1－
[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.
解：由等差数列求和公式得 ， 〔利用常用公式〕
∴＝
＝＝
∴ 当 ，即n＝8时，
＝2ｎ－１，如此＝
题2．假如12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+，如此a=,b=,c=
.
解： 原式=答案：
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：………………………①
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积
设……………………….②〔设制错位〕
①－②得 〔错位相减〕
再利用等比数列的求和公式得：
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∴
[例4] 求数列前n项的和.
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
………………………………②〔设制错位〕
①－②得〔错位相减〕
∴
练****题1 ，求数列｛an｝的前n项和Sn.
答案：
练****题2 的前n项和为____
答案：
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列〔反序〕，再把它与原数列相加，就可以得到n个.
[例5] 求证：
证明： 设………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
〔反序〕
又由可得
…………..……..②
①+②得 〔反序相加〕
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∴
[例6] 求的值
解：设………….①
将①式右边反序得
…………..②〔反序〕
又因为
①+②得 〔反序相加〕
＝89
∴ S＝
题1 函数
〔1〕证明：；
〔2〕求的值.
解：〔1〕先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边
〔2〕利用第〔1〕小题已经证明的结论可知，
两式相加得：
所以.
练****求值：
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假如将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
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[例7] 求数列的前n项和：，…
解：设
将其每一项拆开再重新组合得
〔分组〕
当a＝1时，＝ 〔分组求和〕
当时，＝
[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解：设
∴＝
将其每一项拆开再重新组合得
Sn＝〔分组〕
＝
＝〔分组求和〕
＝
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解〔裂项〕如：
〔1〕 〔2〕
〔3〕 〔4〕
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〔5〕
(6)
〔7〕
〔8〕
[例9] 求数列的前n项和.
解：设〔裂项〕
如此 〔裂项求和〕
＝
＝
[例10] 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
解： ∵
∴〔裂项〕
∴ 数列{bn}的前n项和
〔裂项求和〕
＝