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高等数学中求极限的方法小结
利用等价无穷小求极限
#这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]
设、且；则：与是等价无穷小的充分必要条件为：．
常用等价无穷小：当变量时，
．
例1 求．
解 ，
故，原式
例2 求．
解 ,因此:
原式．
例3 求 ．
解 ，故:原式=．
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例4 求．
解 ,故:
原式．
例5 试确定常数与，使得当时，与为等价无穷小．
解 而左边，
故 即 ．
利用洛必达法则求极限
#利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者型等未定式类型.
洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.
洛必达法则中还有一个定理：当时，函数及都趋于0；在点的某去心邻域内，﹑的导数都存在且的导数不等于0；存在，那么 . [1]
求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法. [3]
例6 求.
分析 秘诀强行代入，先定型后定法.
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（此为强行代入以定型）.
可能是比高阶的无穷小，倘若不这样，或 或.
解
，
由洛必达法则的.
例7 求.
解 .
例8 求.
解 原式.（二次使用洛必达法则）.
例9 求.
解 原式.
例10 求.
解 原式原式=.
例11 求.
解 原式.
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例12 求.
解 原式.
例13 求.
解 原式
“”型：
例14 求.
解 原式.
“”型：
例15 求 .
解 ，
故原式.
“”型：
例16 求.
解 原式.
“”型：
例17 求.
解 原式.
“”型：
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例18 求.
解 原式，
而，因此：原式=1.
泰勒公式
（含有的次方的时候，尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意）
泰勒中值定理定理：如果函数在含有的某个开区间内具有直到
阶的导数，则对任一，有
+(-)+(-)+……+(-)+()
其中，这里是与之间的某个值. [1]
例19 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限.
解 由于公式的分母，我们只需将分子中的
代入计算，
于是 ，对上式做运算时，把两个高阶的无穷小的代数和还是记作.
例20 ，
，
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.
无穷小与有界函数的处理方法
面对复杂函数，尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候，一定要注意这个方法.[3]
例21 求 .
解 原式.
夹逼定理
主要介绍的是如何用之求数列极限，这个主要是看见极限中的通项是方式和的形式，对之放缩或扩大.[1]
例22 求.
解 ，
，
，
根据夹逼定理 .
等比等差数列公式（的绝对值要小于） [1]
例23 设，证等比数列1，，，…的极限为0.
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证 任取，为使，而，使，即，
当，当时，即，
即，
由定义知
.
因此,很显然有:
.
各项以拆分相加[3]
将待求的和式子的各项拆分相加来消除中间的大多数，主要应用于数列极限,可以使用待定系数来拆分简化函数.
例24 求.
解 原式
=.
求左右极限的方式
例25 求函数，求时，的极限.
解 ，，
因为，所以，当时，的极限不存在.
例26 .
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解 ，，
因为，所以,原式=0.
应用两个重要极限
，
例27 求.
解 记 ，则
原式= .
例28 求.
解 原式==.
例29 求.
解 原式==.
根据增长速度
例30 求.
解 原式==.
例31 求.
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解 .
同函数趋近于无穷的速度是不一样的，的次方快于（的阶乘）快于指数函数，快于幂函数，快于对数函数.