文档介绍：7-7 容斥原理
教学目标
了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
知识精讲
知识点说明
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地
把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个
数，用式子可表示成： A U B A B A I B ( 其中符号“ U ”读作“并” ，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ I ”读作“交” ，相当于中文“且”的意思． ) 则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥
原理．图示如下 : A 表示小圆部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A I B ，即
阴影面积．图示如下 : A 表示小圆部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A I B ，
即阴影面积．
1．先包含—— A B
重叠部分 A I
B 计算了 2 次，多加了 1次；
2．再排除—— A
B A I
B
把多加了 1次的重叠部分
AI B减去．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合
A、B 的并集 A U B 的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步： 分别计算集合 A、B 的元素个数， 然后加起来， 即先求 A B ( 意思是把 A、B 的一切元素都 “包含”
进来，加在一起 ) ；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去
C A I
B ( 意思是“排除”了重复计算的元素个数) ．
二、三量重叠问题
A 类、B 类与 C 类元素个数的总和 A 类元素的个数 B 类元素个数 C 类元素个数 既是 A 类又是 B
类的元素个数 既是 B 类又是 C 类的元素个数 既是 A 类又是 C 类的元素个数 同时是 A 类、 B 类、 C 类的元素个数．用符号表示为： AUBUC A B C AI B BI C AI C AI BI C．图示如下：
2010 年·暑假 .三年级 . 第 3 讲 . 重叠问题 教师版 page 1 of 13
图中小圆表示 A 的元素的个数，中圆表示 B 的元素的个数，大圆表示 C 的元素的个数．
1．先包含： A B C
重叠部分 A I
B、BI C、CI
A 重叠了 2 次，多加了 1 次．
2．再排除： A
B C
A I B
BIC AIC
重叠部分 A I
B I C 重叠了 3次，但是在进行
A B C
A I B
B I C
A I
C 计算时都被减掉了．
3．再包含： A
B C
A I B
BIC AIC
AI BI C．
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图
( 韦恩图 ) 来帮助分析思考．
例题精讲
板块一、两量重叠问题
【例 1】 两张长 4厘米，宽 2 厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少
平方厘米？
4
厘
米
2厘米
图 3
2 厘米的正方
【解析】 两 个长方形如图摆放时出现了重叠
( 见图中的阴影部分 ) ，重叠部分恰好是边长为
形，如果利用两个 4 2 的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，
那么重叠部分在两个长方形
面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积
长方形面
积之和 - 重叠部分．于是，被覆盖面积
4 2 2 2 2 12(平方厘米 )．
【巩固】 把长 38厘米和 53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长
4 厘米，焊接后这根铁条有
多长？
【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长 38 53 4 87(厘米)．
【巩固】 把长 23厘米和 37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长 3 厘米，焊接后这根铁条有
多长？
【解析】 焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长： 23 37 3 57 ( 厘米 ) ．
【