文档介绍：平面几何中的向量方法
[ 学****目标 ] .2.
体会向量是一种处理几何问题的有力工具 .、分析和解决实际问题的能力．
知识点一 向量方法在几何中的应用
(1)证明线段平行问题， 包括相似问题， 常用向量平行 (共线 )的等价条件： a∥b(b≠ 0)? a＝ λb ? x1y2－ x2y1 ＝0.
(2)证明垂直问题， 如证明四边形是矩形、 正方形等， 常用向量垂直的等价条件： 非零向量 a，b， a⊥ b? a·b＝0? x1x2＋y1y2＝ 0.
a·b
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式 cos θ＝ ＝ |a||b|
x1x2＋ y1y2
2
2
22.
x1
＋y1
x2＋ y2
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：
|a|＝
x2＋ y2.
思考
△ ABC 中， M、 N 分别为 AB、 AC 的中点．求证： MN ∥ BC.
证明
→
→
→
→
→
设 AB＝ a， AC＝ b，则 BC＝ AC－ AB＝ b－ a，
又 M、 N 分别为 AB、 AC 的中点．
→
1
→
1
∴ AM＝ 2a， AN＝ 2b.
→
→
→ 1
1
1
(b－ a)，
△ AMN 中， MN ＝ AN－ AM＝
b－ a＝
2
2
2
→
1 →
→
→
∴ MN＝ 2BC，即 MN与 BC共线， ∴MN
∥BC .
知识点二
直线的方向向量
(1)直线 Ax＋ By＋ C＝ 0 的方向向量为 (B，－ A)；直线 y＝ kx＋b 的方向向量为 (1， k)．
(2)应用直线的方向向量求两直线的夹角
已知直线 l1 ：y＝ k1x＋ b1 与直线 l2：y＝ k2x＋ b2，它们的方向向量依次为
v 1＝ (1，k1)，v2＝(1 ，
k2)．
当 v1
⊥ v ，即 v ·v ＝ 1＋ k k ＝ 0 时， l ⊥ l
，夹角为直角；当 k
k ≠－ 1
时， v ·v ≠ 0，直线 l
1
2
1 2
1 2
1
2
1
2
1 2
与 l 2 的夹角为 θ(0 °<θ<90 °)．不难推导利用
k1、 k2 表示 cos θ的夹角公式：
|v1·v2|
|1＋ k k |
1
2
cos θ＝
＝
2
2 .
|v1 ||v2|
1＋ k1·
1＋k2
思考 1
已知直线 l ： 2x－ y＋ 1＝0，在下列向量：
① v1＝ (1,2)；② v2＝ (2,1)；③ v3＝
－1，－ 1 ；④ v4＝ (－ 2，－ 4)．其中能作为直线 l
方向向
2
量的有：
________.
答案
①③④
思考
2
直线
x－ 2y＋ 1＝ 0 与直线
2x＋ y－ 3＝ 0 的夹角为
________；直线
2x－ y－1＝ 0 与直线
3x＋ y＋1＝ 0 的夹角为
________．
答案
90°
45°
知识点三
直线的法向量
(1)直线 Ax＋ By＋ C＝ 0 的法向量为 (A， B)；直线 y＝ kx＋ b 的法向量为 (k，－ 1)．
(2)直线法向量的简单应用：利用直线的法向量判断两直线的位置关系：对于直线 l 1：A1x＋
B1y＋ C1＝ 0，